山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二上学期期初考试数学试题

青岛实验高中2023-2024学年第一学期期初阶段性诊断 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则= A. B. C. D. 2. 某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生 A. 630 B. 615 C. 600 D. 570 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中都是正三角形，，则以下两个结论：①；②，说法正确的是（ ） A. ①和②都不成立 B. ①成立，但②不成立 C. ①不成立，但②成立 D. ①和②都成立 8. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A. 非零向量，，满足且与同向，则 B. 若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时， C. 在中，若，则等腰三角形 D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是 A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品 C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点Р为线段上的动点，则（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 不存在点P，使得平面BEP C. 对任意点Р，平面平面BEP D. 点到直线的距离为4 12. 已知函数的定义域为R，对任意都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的周期为4 D. 为偶函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则值为___________． 14. 已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数取值范围是________. 15. 在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为_________． 16. 已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为__． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17. 已知平面向量满足，，且． （1）求在方向上的投影向量； （2）若，求实数的值． 18. 已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上. （1）求； （2）设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积. 19. 如图，在正四棱柱中，，∥平面MAC． （1）证明：M是的中点； （2）若正四棱柱的外接球的体积是，求该正四棱柱的表面积． 20. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按0.5元收费，超过但不超过的部分按0.8元收费，超过的部分按1.0元收费. （1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：）的函数解析式 （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求，的值； （3）在（2）的条件下，计算月用电量的75%分位数. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的中点. （1）求证：PB平面AEC； （2）设PA=AB=1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值. 22. 设函数，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，． （1）若，求B； （2）求的取值范围． 青岛实验高中2023-2024学年第一学期期初阶段性诊断 高二数学试题 一、单项选择