高频考点12 和差倍角公式的活用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点12 12 和差倍角公式的活用 　　和差倍角公式是三角恒等变换的重要知识点,也是多年来高考重点考查的内容.相关试题常考常新,重点考查角的变形、三角函数名称的变化以及三角函数综合运用和变形能力.新高考全国卷面世以来,在多选题、双空题、结构不良题等题型中,常对和差倍角问题进行创新性命题.解决和差倍角问题的方法万变不离其宗,其本质离不开灵活运用变角、变名、变形技巧以及三角函数性质来优化解题. 在① 为偶函数;② 为奇函数;③ 的图象有对称中心这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答. 问题:设函数f(x)=(),满足　　　　,　　　　.  (1) 求的值; (2) 求函数y=+的值域. (1) 选择条件①②: 可知条件①与②互斥,此时不存在. 选择条件①③: 因为()=是偶函数,所以对任意实数都有=, 即, 故,所以.因此. 又的图象有对称中心,故有, 即,展开得, 故,即,所以=(). 综上所述,. 选择条件②③: 由为奇函数可得对于任意实数,都有=-, 展开得, 即,故,得, 由选择条件①③可知,当的图象有对称中心时,(), 综上所述,. (2).因此,函数的值域是. 　　　　本题是结构不良的开放性试题,试题情境为课程学习情境,主要考查两角和与差的三角函数公式以及倍角公式.题目条件可以构成不同组合,这给选择使用不同公式创造了条件,而灵活选择和运用公式是解决本题的关键. 方法提炼 对于解决两角和与差的三角恒等变换问题,通常需要认真分析题目的结构特征,通过变角或变名,创造符合使用公式的条件.在运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要能够正用、逆用和变形使用公式去解决问题,这样有利于开拓思路,找到方法.转化与化归是解决此类问题最常用的数学思想. 1. 黄金分割是指将整体一分为二,使较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,该比值0.618,这是能引起美感的比例,它还可以表示为,则的值为 (　　) A. B. 1 C. 2 D. 2. (多选)已知,,则 (　　) A. B. 为锐角 C. D. 3. 已知,,当()取得最大值时,　　　　.  4. 已知,为锐角,,. (1) 求的值; (2) 求的值. 1. 已知,则等于 (　　) A. B. - C. D. - 2. (多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点(,), (,-), (,),,则 (　　) A. = B. = C. ·=· D. ·=· 3. 若=,=,且∈,∈,则,的值是　　　　.  4. 已知,=,=. (1) 求的值; (2) 求的值. $$高频考点12　和差倍角公式的活用 触类旁通 1. B　【解析】 由题可知======1,故选B. 2. ACD　【解析】 对于A,因为tan=4,tan=- ,所以tan(-)tan=-tantan=1,故A正确;对于B,因为tan=4>0,所以为第一象限角或第三象限角,故B错误;对于C,因为tan=-,所以tan==,故C正确;对于D,因为tan=4,tan=- ,所以tan2===- ,tan2==- ,故D正确.故选ACD. 3. 　【解析】 由题意,tan=tan(α+-)== =3.由辅助角公式可得sin+tancos=sin(+)=sin(+)(其中tan=tan),其最大值为,此时= -+2k(k∈Z),所以tan=tan====. 4. 【解析】 (1) 因为,为锐角,tan =,则解得所以sin2=2sincos=,cos2=cos2-sin2=- .所以===.　(2) 因为,为锐角,tan=,cos(+)=- ,所以sin(+)==, sin(-)=sin[2-(+)] =sin2cos(+)-cos2sin(+)=×-×=-. 巩固反思 1. C　【解析】 因为=- ,即=- ,所以=-,所以cos+sin=,所以(cos+sin)2=,即cos2+2cossin+sin2=,即1+sin2=,所以sin2=.故选C. 2. AC　【解析】 对于A,=(cos,sin),=(cos,-sin),所以||==1, ||==1,故||=||,正确; 对于B,=(cos-1,sin),=(cos-1,-sin),所以 ||=====2,同理||==2,故||,||不一定相等,错误;对于C,由题意得·=1×cos(+)+0×sin(+)=cos(+),·=cos·cos+sin·(-sin)=cos(+),正确;对于D,由题意得·=1×cos+0×sin=cosα,·=cos×cos(+)+(-sin)×sin(+)= cos[+(+)]=cos(+2),·,·不一定相等,故D错