高频考点7 函数模型及其应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点7 7 函数模型及其应用 　　在高考试卷中,函数模型及其应用相关的题目常以填空题或选择题的形式呈现,主要考查两个方面:一是根据数学情境,建立数学模型,解决实际问题;二是给出具体的函数模型,解决情境中提出的问题.试题难度中等或中等偏难.这样的试题主要考查学生数学建模、数学抽象和数据分析等素养. 如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得点D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积的最大值为　　　　cm3.  如图,连接OE交AC于点G,由题意知OEAC. 设等边三角形ABC的边长为x(),则易得OG,GE. 由题意可知三棱锥的高==, △ABC的面积, 则三棱锥的体积×× = . 设,则 令,解得, 当时,单调递增; 当单调递减, 所以当时,取得最大值,最大值为, 所以,即三棱锥体积的最大值为4cm3. 　　　　本题是函数与导数的应用问题,试题情境为生活实践情境,体现学以致用的原则.考点为用导数求函数的最值,主要考查数学建模素养、数学阅读理解能力、空间想象能力与数学运算能力.解决此类问题的关键是数学建模,如本题中可先设等边三角形ABC的边长为,构建三棱锥的体积的模型,即,随之构造函数,即可快速解模. 方法提炼 1. 解函数应用问题的步骤: (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将自然语言转化为数学语言,将自然语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3) 解模:求解数学模型,得出数学结果; (4) 还原:将数学结果还原为实际结果. 以上过程可用框图表示.　 2. 解函数应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼,如“几年后”与“第几年后”,学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错,故建议复习时养成良好的审题习惯. 3. 在解函数应用题时,建模后一定要注意定义域,建模的关键是寻找量与量之间的关系. 4. 解完数学模型后,注意将数学结果转化为实际结果并写出总结答案. 1. 为了衡量天体的明暗程度,天文学家们提出了星等这个概念.星等的数值越小,天体就越亮;星等的数值越大,天体就越暗.后来,由于光度计在天体光度测量中的应用,天文学家们又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两个天体的星等与亮度满足,其中星等为的天体的亮度为.已知“心宿二”的星等是1,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,则的近似值为(当较小时,) (　　) A. 1.23 B. 1.26 C. 1.51 D. 1.57 2. 小李同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元,若每年生产x万件小型电子产品,则需另投入流动成本万元,且每件小型电子产品售价为10元.经分析,生产的小型电子产品当年能全部售完. (1) 写出年利润(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2) 年产量为多少万件时,小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 3. 如图,设一正方形纸片ABCD的边长为2 dm,切去阴影部分的四个全等的等腰三角形,剩余部分为一个正方形和四个全等的等腰三角形,沿虚线折起,恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计),图中AHPQ,O为正四棱锥底面的中心. (1) 若正四棱锥的棱长都相等,求这个正四棱锥的体积 (2) 设等腰三角形APQ的底角为,试把正四棱锥的侧面积表示为的函数,并求的取值范围. (第3题图) 1. 如图,一高为且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流尽所用时间为.若鱼缸水深为时,水流出所用时间为,则函数的图象大致是 (　　) (第1题图) 　　　A.　　B.　　C.　　D. 2. 如图,修建一条公路时需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为 (　　) 　(第2题图) A. B. C. D. 3. (多选)在现代社会中,信号处理是非常关键的技术,而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数的图象就可以近似模拟某种信号的波形,则 (　　) A. 函数为周期函数,且最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的导数的最大值为4 4. 在研究某路段交通情况时,计算道路密度可