高频考点6 函数的零点-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点6 6 函数的零点 　　函数的零点问题是高考的重点,也是难点,高考经常考查的内容有判断函数零点个数、已知函数零点个数求参数取值范围、证明零点满足的不等式,等等.这类试题常需通过取点赋值法、极值点偏移法等方法解决,且一般是较难题和难题,对学生的数学素养有较高要求. 设函数(a∈R),其中e为自然对数的底数. (1) 当a=0时,求函数f(x)的单调递减区间; (2) 已知函数的导数有3个零点. ① 求a的取值范围; ② 若是函数的2个零点,证明:. (1) 当a0时,,其定义域为. ,令,得x1, 所以函数的单调递减区间为. (2) ① ,设, 有3个零点,即函数有3个非零的零点. 又,若a0,则, 所以在上单调递减, 至多有1个零点,不符合题意,所以a0. 令,得.列表如下: - g'() + 0 - 0 + g() ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以即解得0. 又g(0)=10,所以g(x)在上有且只有1个非零的零点. 因为当0a时,--,, g=a++1=1-0, 且g=a-+1=10, 又函数g(x)的图象是连续不断的,所以g(x)在和上各有且只有1个非零的零点,所以实数a的取值范围是. ② 证法1:  由,得 设(),且,所以. 又,所以. 所以当或时,; 当时,. 由①知. 因为,所以 所以, . 所以. 证法2:  依题设,知, 由①知,设, 由①知,所以在上单调递减. 又由得, 即,所以, 又,故. 于是(ⅰ) 又在上单调递减,所以; （ii）, 又,在上单调递减,故, 又,所以,即. 所以. 　　　　本题聚焦函数的零点问题,集函数、方程、不等式于一体,属于函数的综合题,主要考查逻辑推理及理性思维能力.函数与方程、数形结合是解决本题的核心思想.解决本题的关键是将所求问题有效转化为熟悉的问题,如第(2)①题中,由导数有3个零点转化为()有3个非零的零点.第(2)②题要证明成立,证法1构造函数,证法2则构造函数. 方法提炼 1. 处理函数零点问题,需利用函数零点存在定理的条件,即要求函数图象在区间上是连续不断的曲线,且. (1) 直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明; (2) 分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明. 2. 利用导数研究方程根(或函数零点)的技巧: (1) 研究方程根(或函数零点)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、极(最)大值、极(最)小值、变化趋势等; (2) 根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置; (3) 利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 3. 已知函数零点个数求参数的常用方法: (1) 分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围; (2) 分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个分类下研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小取值范围并在一起,即为所求参数的取值范围. 1. 设函数,则函数 (　　) A. 在区间,内均有零点 B. 在区间,内均无零点 C. 在区间内有零点,在区间内无零点 D. 在区间内无零点,在区间内有零点 2. 设函数,曲线在点处的切线与y轴垂直. (1) 求的值; (2) 若有一个绝对值不大于1的零点,求证:所有零点的绝对值都不大于1. 3.已知函数 (1) 若恒成立,求实数a的取值范围; (2) 若函数有2个零点,求证:. 1. 已知为R上的可导函数,当时,.若,则函数的零点个数为 (　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 2.(多选)已知函数-1在(0,+∞)上有唯一零点，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数. (1) 讨论函数的单调性; (2) 当时,判断函数g()=零点的个数,并说明理由. $$高频考点6　函数的零点 触类旁通 1. D　【解析】 方法1(图象法):令f(x)=0得x=lnx.作出函数y=x和y=lnx的图象,如图,显然y=f(x)在内无零点, 　(第1题答图) 在(1,e)内有零点,故选D.方法2(定理法):当x∈时,函数f(x)=x-lnx的图象是连续的,且f'(x)= -=<0,所以函数f(x)在上单调递减.又f=+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,所以函数f(x)在区间上有唯一的零点,且该零点在区间(1,e)内.故选D. 2. 【解析】 (1) 因为f'(x)=3x2+b,由题意,f'=0,即3×+b=0,则b=-