高频考点2 分段函数-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点2 2 分段函数 　　以分段函数为载体的求值(或取值范围)及函数零点等问题历来是高考的重点和热点,一般是中档题或较难题,题型有单选题、多选题、填空题等.在分段函数中最为复杂的一类问题是含有抽象函数的问题,解决这类问题可借助整体换元的方法,利用分类讨论和数形结合的思想求解. 设函数若存在实数,使得关于的方程有4个不相等的实数根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数的取值范围是　　　　.  方法1:  易知函数在区间上的图象关于直线对称. 由解得. 当,即时,的图象如图①,则方程至多有2个根,不符合题意; 当,即时,的图象如图②,一定存在实数,使得方程有4个根. 将方程的4个根分别设为, , , ,且. 由得. 由,,得,, 所以方程的4个根的平方和. 由解得, 令,则t在上单调递减, 所以,所以, 要使得在上存在最小值,则,解得, 故实数的取值范围是. 方法2:  由解得. 当,即时,方程至多有2个根,不符合题意; 当,即时,一定存在实数,使得方程有4个根. 将方程的4个根分别设为, , , ,且. 由得. 由,,得,, 所以方程的4个根的平方和 ,当时取最小值, 又,于是,解得, 故实数的取值范围是. 方法3:  由解得. 当,即时,方程至多有2个根,不符合题意; 当,即时,一定存在实数,使得方程有4个根. 将方程的4个根分别设为, , , ,且. 由得方程的4个根的平方和, 令,则原式,当时取最小值, 所以取最小值时,解得. 故实数的取值范围是 　　　　本题以分段函数为载体,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,解题的关键是分析和探索“方程有4个不相等的实数根”所隐含的条件.三种解题方法的共同特点是发现了函数f(x)在区间上的图象关于直线对称,并由此利用方程的4个根的平方和存在最小值,构造新函数解决问题,数形结合和转化与化归思想在解题中得到了很好的体现,有效考查了逻辑推理能力和数学运算能力. 方法提炼 1. 含有抽象函数的分段函数问题,在处理时首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用或者对函数图象的影响,如本题函数图象关于直线对称. 2. 已知分段函数有零点(或方程有根)求参数取值范围的常用方法: (1) 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数取值范围; (2) 分离参数法:将参数分离,将原问题转化成求函数值域的问题加以解决; (3) 数形结合法:首先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后利用数形结合求解. 1. (多选)已知函数设方程的4个不相等的实数根从小到大依次为, , , ,则下列判断中一定成立的是 (　　) A. B. C. D. 2. 已知函数若对任意均成立,则实数的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3. 已知函数若关于的方程有5个不相等的实数根,则实数的取值范围是　　　　　　.  1. (多选)已知函数若存在实数, , , ()满足,则 (　　) A. B. C. D. 2. 已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3. 已知函数(a∈R),若函数有3个零点,则实数的取值范围是　　　　　　.  $$、高频考点2　分段函数 触类旁通 1. CD　【解析】 因为f(x)=f(4-x)(2<x<4),所以f(x)在(0,4)上的图象关于直线x=2对称. 　(第1题答图) 作出f(x)与y=+t的函数图象,如图,由图象可知x1,x2不一定关于直线x=1对称,所以=1不一定成立,故A错误;由图象可得0<x1<1<x2<2<x3<3<x4<4,由y=+t是减函数可知f(x1)>f(x2),即-log2x1>log2x2,所以-log2x1-log2x2>0,即x1x2<1,故B错误;由f(x3)>f(x4),可得log2(4-x3)>-log2(4-x4),故而(4-x3)(4-x4)>1,又1<4-x3<2,0<4-x4<1,所以(4-x3)(4-x4)<2,所以1<(4-x3)(4-x4)<2,故D正确;因为1<(4-x3)(4-x4)<,所以>1,故x3+x4<6,所以x3x4<<9,又有x3x4>6,故C正确.故选CD. (第2题答图) 2. C　【解析】 作出y=|f(x)|在[-1,1]上的图象,如图,因为|f(x)|≥ax对任意x∈[-1,1]均成立,所以y=|f(x)|的图象在y=ax的图象的上方(可以部分点重合).又|f(-1)|=|1-2|=1,令3x0-2=0,所以x0=,所以A(-1,1),B.根据图象可知,当y=ax经过点A(-1,1)时,a有最小值,amin=-1,当