高频考点35 直线与圆锥曲线的位置关系-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点 35 直线与圆锥曲线的位置关系 　　直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的重点和热点,这类题目以解答题为主,主要考查学生识图、画图、逻辑推理、创新思维等能力和数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想.对于这类题目,需要建立方程组,并结合韦达定理解题.这类题目考查内容涉及弦长、面积、定点、定值等,要求学生具有分析问题和解决问题的能力. 已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,,,且椭圆C的离心率为. (1) 求椭圆C的方程; (2) 设过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,求△ABF2面积的最大值. (1) 因为点P在椭圆C上,=2,所以. 在△PF1F2中,由余弦定理得. 即,化简,得 ①. 又椭圆C的离心率,所以 ②. 由①②,解得,所以,所以椭圆C的方程为. (2) 由题意,直线的斜率存在且不为0.设直线的方程为. (3) 由消去x,得.由,得. 设),则, 所以|AB|==·=. 设点F2到直线l的距离为d,又,则d=, 所以. 令=t(t>0),则,所以,当且仅当时等号成立,此时. 所以△ABF2面积的最大值为. 　本题以椭圆为载体研究直线与圆锥曲线的位置关系,考点涉及椭圆的离心率、弦长、面积、最值等,试题情境为课程学习情境,主要考查数形结合、转化与化归、函数与方程的数学思想及逻辑推理、数学运算能力.解题的关键是将几何问题转化为代数问题,如第(2)题,先建立方程组,然后结合韦达定理,将三角形的面积用弦长和点到直线的距离表示,并化为含有参数m的函数关系式,最后结合换元法和基本不等式解决最值问题. 求解直线与圆锥曲线的位置关系问题的通用思想是设而不求:即先设出直线方程为,将直线方程与圆锥曲线方程联立方程组消元后转化为一元二次方程,则直线与圆锥曲线的交点坐标为),然后应用根与系数的关系得到(其中,一元二次方程根的判别式可以判断参数的取值范围、确定直线与圆锥曲线的位置关系,也可以处理相关定点、定值问题),最后构建目标函数(如弦长、三角形面积等),运用函数、基本不等式等方法确定范围或最值,解题时要注意换元法等方法的运用. 1. 抛物线上有一动弦AB,其中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为 (　　) A. B. C. D. 1 2. 折纸是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如用圆形纸片,按如下步骤折纸: 步骤1:设圆心是O,在圆内不是圆心处取一点,标记为F; 步骤2:把纸片对折,使圆周正好通过F,此时圆周上与点F重合的点标记为A; 步骤3:把纸片展开,就留下一条折痕,此时AO与折痕交于点G; 步骤4:不停重复步骤2和3,能得到越来越多的折痕和越来越多的交点G. 所有交点G组成的图形是一个椭圆. (第2题图) 若取半径为4的圆形纸片,设定点F到圆心O的距离为2,按上述方法折纸. (1) 建立适当的坐标系,求折痕围成的椭圆的标准方程; (2) 求经过点F,且与直线FO夹角为的直线被椭圆截得的弦长. 3. 已知抛物线(p>0)的焦点为F,P为抛物线上的点(第一象限),直线与抛物线相切于点P,与x轴相交于点C. (1) 过点P作PM垂直抛物线的准线于点M,连接PF,求证:直线平分∠MPF; (2) 若,过点P且与垂直的直线交抛物线于另一点Q,分别交x轴、y轴于A,B两点,求+的取值范围. 　(第3题图) 1. 已知F为抛物线C:的焦点,过点F作两条互相垂直的直线1 ,2,直线1与抛物线C交于A,B两点,直线2与抛物线C交于D,E两点,则|AB |+|DE |的最小值为 (　　) A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 2. 过点的两条直线l1,l2分别与双曲线C:(a>1,b>1)相交于点A,E和点B,D,满足(λ>0,且λ≠1).若直线AB的斜率k=2,则双曲线C的离心率是 (　　) A. B. C D. 3. 已知椭圆C:1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点,B为椭圆C的上顶点,F1为椭圆C的左焦点,且△A1F1B的面积为. (1) 求椭圆C的方程; (2) 设过点的动直线交椭圆于E,F两点(点E在x轴上方),M,N分别为直线A1E,A2F与y轴的交点,O为坐标原点,求的值. (第3题图) $$高频考点35　直线与圆锥曲线的位置关系 触类旁通 1. A　【解析】 方法1:易知直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为,由得,由题意可得Δ>0,即,设,则,因为,所以,弦AB的中点M的纵坐标 当且仅当,即时取等号,所以点M的纵坐标的最小值为,故选A.方法2:由图象(图略)可知,A,F,B三点构成一个三角形或在一条直线上,故,当点F,A,B在一