高频考点34 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点 34 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 　　圆锥曲线的几何性质是高考命题的重点和热点.高考主要考查椭圆与双曲线的离心率,双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题,题目综合性较强.试题类型多为选择题或填空题.解决这类问题的主要方法是结合圆锥曲线的定义、几何特点,构造基本量的等量关系或者不等关系,利用方程思想或者不等式思想求值或求取值范围.这类题目主要考查学生识图、画图、逻辑推理、创新思维等能力及数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想. 已知双曲线C:(a>0,b>0),过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且点A在第一象限.若(O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A. B. C. D. y=±x 方法1:  由题意可得直线AF的方程为,双曲线C过第一、三象限的渐近线的方程为. 由得所以A. 因为==c,所以,整理可得,即, 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选B. 方法2:  设双曲线C的右焦点为F',连接AF',因为,所以,所以△AFF'为直角三角形,AF AF'.因为直线AF的斜率为,所以 又所以,令,则,由勾股定理得,所以,即,所以,所以,则双曲线C的渐近线方程为. 故选B. 方法3:  设双曲线的右焦点为F',连接AF',因为,所以,所以△AFF'为直角三角形,AF⊥AF',即点A在以线段FF'为直径的圆上,所以 因为直线AF的斜率为,所以,所以,则双曲线C的渐近线方程为. 故选B. 　本题以双曲线为载体,考查如何利用圆锥曲线方程的基本量研究圆锥曲线的几何性质,属于基础题,试题情境为课程学习情境,解题的主要数学思想是数形结合.在解决此类问题时应注意抓住图形的几何特点,结合圆锥曲线的定义,构建基本量a,b,c的等量关系,如本题就是由构造基本量a,b,c的等量关系,从而得出渐近线方程.从入手解题,可以从代数和几何两个方向来思考:代数方向是借助直线的方程求交点,然后用方程的思想解决问题;几何方向是借助于特征三角形(即直角三角形),然后结合定义,求出渐近线倾斜角的正切值,从而解决问题. 对圆锥曲线的几何性质的考查,主要聚焦在求椭圆的离心率、双曲线的离心率、双曲线的渐近线、抛物线的焦点弦等方面.解决这类问题的关键是:(1) 灵活运用圆锥曲线的定义以及根据条件设点,由已知条件确定相应的几何性质;(2) 正确用好基本量,同时要挖掘题目所给的相关信息,如角的互补、三角形相似、直线与圆相切等.若能恰到好处地运用勾股定理和正、余弦定理以及有关“二级结论”,则可以快速解题.选择向量方法求解往往会优化解题过程. 1. 已知抛物线C1:(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为E,线段EF被双曲线C2: -=1(a>0,b>0)的顶点三等分,且两曲线C1,C2的交点连线过曲线C1的焦点F,则双曲线C2的离心率为(　　) A. B. C. D. 2. 已知椭圆(a>b>0)的右焦点为,上顶点为A(0,b),直线上存在一点P满足,则椭圆的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 3. 已知抛物线C:(p>0)的焦点为是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线截得的弦长为|MA|,若=2,则等于 (　　) A. B. 1 C. 2 D. 3 4. (多选)十七世纪,法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明:方程(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆.若从椭圆上任意一点P(异于A,B两点)向长轴AB引垂线,垂足为Q,记,则下列说法中正确的有(　　) A. M的值与点P在椭圆上的位置有关 B. M的值与点P在椭圆上的位置无关 C. M的值越大,椭圆的离心率越大 D. M的值越大,椭圆的离心率越小 1. 双曲线的光学性质为:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,双曲线方程为(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点.若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,且,则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. (第1题图) 2. (多选)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则 (　　) (第2题图) A. B. C. D. 3. 设抛物线C:(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,.若以线段MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为