高频考点33 椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点 33 椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程 　　求圆锥曲线的方程是高考命题的重点,多出现在解答题的第一小题和简单的选择题、填空题中,主要考查学生数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想以及识图、画图、逻辑推理及创新思维等能力.解决这类问题的主要方法是定义法和待定系数法.将圆锥曲线的定义与方程和圆锥曲线的离心率问题、周长问题、面积问题、最值问题结合也是高考的热点,主要考查学生分析问题和解决问题的能力. (2019·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若,则椭圆C的方程为 (　　) A. B. C. D. 方法1: 如图,由已知可设,则. 由椭圆的定义有,所以. 在△AF1F2和△BF1F2中,由余弦定理得 又∠AF2F1,∠BF2F1互补,所以,两式消去cos∠AF2F1,cos∠BF2F1,得,解得.所以,所以,故椭圆方程为,故选B. 方法2:  如图,由已知可设=n,则. 由椭圆的定义有2a==4n,所以. 在△AF1B中,由余弦定理推论得,在△AF1F2中,由余弦定理得,解得.所以,所以, 故所求椭圆方程为,故选B. 方法3:  如图,由已知可设,则. 由椭圆的定义有,所以.不妨设点,由,利用向量或相似三角形的性质得点, 代入椭圆方程得,所以,故选B. 　本题是圆锥曲线方程的典型问题,考点涉及椭圆的定义和方程、余弦定理、相似三角形等,属于容易题,主要考查数形结合思想在解题中的应用,试题情境为课程学习情境.本题的三种解题方法都以椭圆的定义为核心,并恰到好处地用到了平面几何的结论. 解决圆锥曲线方程相关问题的关键是灵活运用圆锥曲线的定义,正确用好基本量,同时要挖掘题目所给的相关信息,如角的互补、三角形的相似、直线与圆的相切等.若能恰到好处地运用勾股定理和正、余弦定理以及有关“二级结论”,则可以快速解题.选择向量方法求解往往会优化解题过程. 1. (2019·新课标全国Ⅲ卷)已知F是双曲线C:=1的一个焦点,点P在双曲线C上,O为坐标原点.若|OP |=|OF |,则△OPF的面积为 (　　) A. B. C. D. 　(第2题图) 2. 我国古代桥梁的建筑艺术有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了我国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为 (　　) A. m B. m C. m D. 12 m 3. 已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F,抛物线与双曲线C共焦点,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则双曲线的标准方程为 (　　) A. B. C. D. 4. 已知F是椭圆的左焦点,P是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  1. 已知F1,F2为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,,则cos∠F1PF2的值为 (　　) A. B. C. D. 2. (多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C:,则 (　　) A. 若,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B. 若,则C是圆,其半径为 C. 若,则C是双曲线,其渐近线方程为 D. 若,则C是两条直线 3. (多选)已知曲线C:,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法中正确的有(　　) A. 若,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 B. 若曲线C的离心率,则 C. 若,则曲线C上不存在点P使得 D. 若,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为 4. P为抛物线上的动点,为平面内定点,F为抛物线焦点,则+的最小值为　　　　;-的取值范围为　　　　.  $$高频考点33　椭圆、双曲线、抛物线的 　定义与方程 触类旁通 1. B　【解析】 方法1:由F是双曲线的一个焦点,知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.不妨设点P在第一象限,(x0>0,y0>0),则解得所以,所以.故选B.方法2:不妨设F是右焦点,F1为左焦点,连接F1P,由题意得,则PF⊥PF1,令,则α=,由“二级结论”易得,所以 ,所以.故选B. 　(第2题答图) 2. B　【解析】 由题意,以拱桥顶点为坐标原点,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为(p>0),由题意知,抛物线经过点和点,代入抛物线方程解得,所以抛物线方程为水面下降1 m,即,解得,所以此时水面宽度(m).故选B. 3. A　【解析】 因为抛物线的焦点坐标为(4,0),所以有,双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线方程为,因为点A在双曲线的渐近线上,△OAF是等边三角形,所以有,而,解得,,故选A. 4. 6+　6-　【解析】 由题意,椭圆方程化为,设F1是椭圆的右焦点,则,所以,所以(当