高频考点32 直线与圆的动态问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点 32 直线与圆的动态问题 　　直线与圆的动态问题是高考常考常新的热点问题,包括动直线、动圆、动圆定直线、定圆动直线、动圆动直线,这类问题多与相关几何量的最值、取值范围有关,解题时要注意“动与静”“变与不变”之间的相互转化.这类问题主要考查数形结合、分类讨论、等价转化以及函数与方程等数学思想,突出培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 已知圆C:(aR),过点P(0,1)作斜率为-1的直线交圆C于A,B两点,P为线段AB的中点. (1) 求实数a的值; (2) 从圆外一点M向圆C引一条切线,切点为N,且有,求|MN|的最小值. (1) 由(a R),得, 因为P为线段AB的中点,所以点P在圆内,且CP AB, 所以解得a=-6. 经检验,满足,故. (2) 由(1)得圆C:,即,所以圆心,半径. 设点M坐标为(x,y),因为MN为圆C的切线,所以MN CN,所以, 又,所以, 则,整理得. 由于,故|MN |取最小值即|MP |取最小值,点P (0,1)到圆圆心的距离,所以的最小值为,故|MN |的最小值为. 　本题考点为直线与圆的位置关系,涉及轨迹思想,是比较典型的动态问题.试题情境为课程学习情境与探索创新情境,重点考查学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.解决本题第(2)题的关键是由条件发现点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,从而将求|MN|的最小值转化为求圆上一动点到圆外一点的距离的最小值,解决问题的过程中主要运用了等价转化和数形结合的思想. 研究直线与圆的动态问题的一般方法: 1. 定圆动直线的问题,其中动直线包含:已知斜率,截距在变化的动直线;已知截距或者已知直线过一个定点,斜率在变化的动直线.对于这类问题可以把它转化成直线和圆的位置关系来解决. 2. (1) 动圆定直线问题中经常涉及轨迹问题,即隐形圆的问题.如本题第(2)题,由条件|MN|=|MP |得到点M的轨迹是圆; (2) 对于轨迹是圆的相关问题,通常用几何法求解较为简洁,充分利用圆的几何性质可以事半功倍. 1. 已知点P是圆C:(上一动点,点P关于y轴的对称点为M,点P关于直线的对称点为N,则的最小值是 (　　) A. 4 B. C. D. 2. (多选)对两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两条直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两条直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线1:,2:与圆C:(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上,已知点M是圆C上的动点,则+的最大值为　　　　.  4. 已知圆O:和定点),动点C,D在圆O上. (1) 过点作圆O的切线,求切线方程; (2) 若满足(kAC,kAD分别为直线AC,AD的斜率),设直线AD与直线x=4相交于点N. ① 求证:直线CD过定点; ② 试探究直线AC的斜率kAC和直线CN的斜率kCN的定量关系. 1. (多选)已知过定点A的动直线1:和过定点B的动直线2:,P为两直线的交点,圆C:,则 (　　) A. 直线2过定点(1,3) B. 直线2与圆C相交且最短弦长为2 C. 动点P的轨迹与圆C相离 D为定值 2. 已知A,B为圆C:上两动点,且2,M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　;(O为坐标原点)的取值范围为　　　　　　　　.  3. 已知点在圆C:内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点.若△ABC面积的最大值为20,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  4. 已知圆C的圆心在直线上,圆C与x轴正半轴相切,且被直线:截得的弦长为. (1) 求圆C的方程; (2) 若点A在圆C上运动,点,且点M满足 ,记点M的轨迹为Γ . ① 求Γ的方程,并说明Γ是什么图形; ② 试探究:在直线上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有为一常数?若存在,求出所有满足条件的点T的坐标;若不存在,请说明理由. $$ 高频考点32　直线与圆的动态问题 触类旁通 1. C　【解析】 设,则,则表示圆C上的点到定点)的距离.由题意知圆心,半径,由圆的性质可得,当且仅当时,等号成立,所以.所以的最小值是.故选C. 2. BCD　【解析】 由已知得直线1:与2:平行,所以,解得或.当时,两直线方程相同,两直线重合,不合题意;当时,检验,符合题意,所以a=-3,此时两直线方程分别为.将C:(b>0)配方整理得,所以圆心坐标为,半径为b.当两条平行直线与圆“平行相切”时,或,当两条平行直线与圆“平行相离”时,且,即,当两条