高频考点31 圆的方程-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点 31 圆的方程 　　求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径是高考的热点,此内容多与直线相结合命题,着重考查学生利用待定系数法求圆的方程的能力.直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点,这类问题多以多选题形式呈现.解决以上这些问题的核心是利用数形结合思想. 根据下列条件求圆的方程: (1) 经过两点,且圆心在直线上; (2) 经过两点,且在x轴上截得的弦长为6; (3) 经过两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2. (1) 由题意知直线AB的斜率,线段AB的中点为,设圆心. 因为圆过两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上, 又圆心在直线上,则解得所以, 所以,所以圆的方程为. (2) 设圆的方程为. 将P,Q两点的坐标分别代入,得 两式相减得,则,将其代入①式得2, 又圆在x轴上截得的弦长等于6,所以. 联立解得或 故所求圆的方程为或. (3) 设所求圆的方程为. 设圆与两坐标轴的交点为(. 令,得所以. 令,得,所以. 由题意知,即　③. 又圆过点M,N,所以　④, 　⑤. 解③④⑤组成的方程组得. 故所求圆的方程为. 　本题是用待定系数法求圆的方程的基本题型,涉及圆的方程的求法这一考点,试题情境为课程学习情境,主要考查数形结合、等价转化的数学思想以及数学运算能力.这类题目的解题方法为先根据题目的已知条件,选择合适的圆的方程形式,再结合条件列出方程组,利用方程组思想,确定未知量.第(1)题,由圆过两点A,B,确定圆心在线段AB的垂直平分线上,然后由方程组确定圆心;第(2)题,由圆截直线所得的弦长,确定方程,再联立方程组确定圆心和半径;第(3)题,已知圆在坐标轴上的截距之和,先设出圆的一般方程,再根据条件列出方程组,解方程组确定圆的方程. 1. 求圆的方程的一般方法: (1) 直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出圆的方程; (2) 待定系数法: ① 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值; ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则可设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2. 直线与圆的位置关系: (1) 判断直线与圆的位置关系常用几何法; (2) 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形; (3) 处理圆的切线问题要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. 3. 圆与圆的位置关系: (1) 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法; (2) 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. 1. (2020·新课标全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为 (　　) A. B. C. D. 2. 已知直线:截圆O:(r>0)所得的弦长为,点M,N在圆O上,且直线':过定点P.若PM PN,则|MN |的取值范围是 (　　) A. [,] B. [,] C. [-,+] D. [-,+] 3. (多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆上,点,则(　　) A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当∠PBA最小时,= D. 当∠PBA最大时,= 4. 已知圆E经过点),从下列3个条件选取一个:　　　　.  ① 过点;② 圆E恒被直线(m∈R)平分;③ 与y轴相切. (1) 求圆E的方程; (2) 过点的直线与圆E相交于S,T两点,求线段ST的中点M的轨迹方程. 1. (多选)已知圆M的一般方程为,则 (　　) A. 圆M的圆心为(4,-3) B. 圆M被x轴截得的弦长为8 C. 圆M的过原点的最短弦长为8 D. 圆M被y轴截得的弦长为6 2. (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ≠1) 的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,将其称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中,.点P满足,设点P所构成的曲线为E,则 (　　) A. 曲线E的圆心坐标为 B. C. 曲线E的周长为π D. 曲线E上的点到直线的最小距离为() 3. 已知圆C的圆心坐标是,半径是r.若直线与圆C相切于点,则m=　　　　,r=　　　　.  4. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点,且圆心N在直线:上,圆M:. (1) 求圆N的标准方程,并判断圆M与圆N的位置关系; (2) 直线MN上是否存在点B,过点B分别作圆M与圆N的切线,切点分别为T,S(不重合),使得?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由. $$ 高频考点31　圆的方程 触类旁通 1. B