高频考点19 等差数列、等比数列的性质及其应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点19 19 等差数列、等比数列的性质及其应用 　　等差数列、等比数列的性质是历年高考的热点,有时会与等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等知识结合起来考查,相关题型以选择题和填空题为主,也有解答题,难度不大,基本上属于中档题.灵活运用等差、等比数列的性质可减少运算量. (多选)已知数列的前项和为,则下列说法中正确的有 (　　) A. 若点在函数的图象上,则为等差数列 B. 若,则为等比数列 C. 若为等差数列,,则=55 D. 若为等比数列,=10,=70,则=30 对于选项A,由点在函数的图象上,即, 因为,所以为等差数列,A正确. 对于选项B,由,所以(), 当时,1,所以不是等比数列,B不正确. 对于选项C,在等差数列中,,于是, 所以,C正确. 对于选项D, 方法1:  由=70,=10得3,则等比数列的公比q1, 则得=7, 令,则=7,即, 解得或(舍去),,则,D正确. 方法2:  由,,成等比数列,即10, 解得=30或=-20(舍去),D正确. 故选ACD. 　　　　本题是多选题,多角度考查了等差数列和等比数列的性质及其应用,试题情境为课程学习情境.解决本题的关键是深入理解等差数列、等比数列的性质,在本题中,A,B选项聚焦等差数列和等比数列的定义,从函数观点来看,等差数列(非常数列)对应一次函数,等比数列(非常数列)对应函数(),而C,D选项聚焦等差中项以及等距片段和的性质. 方法提炼 解决等差数列、等比数列相关的问题时,要特别关注以下性质的活用: 已知数列的前项和为,对于任意正整数: (1) 若是等差数列(非常数列),且,-,-成等差数列; (2) 若是等比数列(非常数列),,且当0时,,-,-成等比数列. 对于涉及特殊等差数列、等比数列的问题,若能运用以上性质往往可以快速解题. 1. (多选)已知数列是公差不为0的等差数列,前项和为,且满足+5=,则下列选项中正确的有 (　　) A. =0 B. = C. 最小 D. =0 2. 设是等比数列的前n项和,且满足3=7,=,则的值为 (　　) A. 3 B. C. 3或 D. 3或 3. 已知数列的通项公式为=,记数列的第项到第项的和为,试探究当取得最小值时的值. 4. 设是等差数列的前项和,=1,=39. (1) 求数列的通项公式; (2) 是否存在,使得?若存在,求满足条件的的最大值;若不存在,请说明理由. 1. (多选)设数列的前n项和为,若+=A,则下列说法中正确的有 (　　) A. 存在A,B,C使得是等差数列 B. 存在A,B,C使得是等比数列 C. 对任意A,B,C都有一定是等差数列或等比数列 D. 存在A,B,C使得既不是等差数列也不是等比数列 2. 已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为 (　　) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知等差数列的各项均不为零,其前项和为.若=+,求. 4. 已知等差数列的公差.设的前项和为,=1,·=36. (1) 求及; (2) 求的值,使得+++…+=65. $$高频考点19　等差数列、等比数列的 　　 性质及其应用 触类旁通 1. AB　【解析】 因为是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,所以选项A正确;又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以选项B正确;当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,所以选项C错误;又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB. 2. D　【解析】 方法1:设等比数列的公比为q,若q=1,则3S9=27a1,7S6=42a1,3S9=7S6,则a1=0,显然不成立,故q≠1.因为3S9=7S6,mS6=nS3,所以3×=7×,m·=n·,所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),解得q3=2或q3=- .所以=1+q3=3或=1+q3=.故选D.方法2:因为是等比数列,所以S3(S9-S6)=(S6-S3)2,又S9=S6,S6=S3,S9=S3,代入得S3=,由S3≠0,得=,即3-10·+3=0,解得=3或=.故选D. 3. 【解析】 由an=,则a8=0.又Tn=an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5+an+6,考虑到|Tn|≥0,由等差数列的对称性,可知a7+a9=0,a6+a10=0,a5+a11=0,所以T5=0,即当取得最小值时n=5. 4. 【解析】 (1) 因为S13==13a7=39,所以a7=3,因为a6=1,所以公差d=a7-a6=3-1=2,所以an=a6+(n-