高频考点18 等差数列、等比数列的基本量运算-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点18 18 等差数列、等比数列的基本量运算 　　等差数列和等比数列的通项公式和前n项和的问题是多年来高考常考常新的一类问题,这类问题通常为中等难度.新高考全国卷面世以来,在多选题、双空题、结构不良题等题型中,常对数列问题进行创新性命题.解决等差、等比数列通项公式和前n项和问题的方法万变不离其宗,其本质离不开灵活运用基本量以及性质优化解题过程. 在① ;② ;③ 这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答. 问题:已知数列的前项和为,满足　　　　,　　　　;又知正项等差数列满足,且,,成等比数列.  (1) 求和的通项公式; (2) 求证:++…+. 由条件①有,两边同时加上2,有,两边同时减去得,即条件③.故①③为等价条件,不能同时选择. 选择条件①②: (1) 由,当时,有, 两式相减得,即,. 又当时,有, 因为,所以,也符合, 所以数列是首项、公比均为的等比数列,所以. 设正项等差数列的公差为,因为=2,且,,成等比数列, 所以=,即=2,解得或(舍去), 所以. 故,. (2) 证明:由(1)可得=,所以 ++…+==. 选择条件②③: (1) 由,当时,, 两式相减得,3,即,. 又当时,有, 因为,所以,也符合, 所以数列是首项、公比均为的等比数列,所以. 设正项等差数列的公差为,因为,且,,成等比数列, 所以,即,解得或(舍去), 所以. 故,. (2) 证明:由(1)可得=,所以 ++…+==. 　　　　本题以等差数列、等比数列为载体,为结构不良的开放性试题.试题情境为课程学习情境,主要考查学生利用等差数列、等比数列的基本量进行运算的能力以及数学运算和逻辑推理素养.由于本题是开放性试题,解题时应先对条件进行筛选,然后再求解.经分析可知条件①和③为等价条件,因此只能选择条件①②或条件②③进行解题.通过正确运用数列通项公式与前n项和的关系(),容易找到数列的等比关系为,再利用等差数列、等比数列的基本量运算完成求解.解决本题的过程体现了转化与化归的数学思想. 方法提炼 等差数列、等比数列的基本量是指数列的首项、公差(公比)、项数、项以及前项和. 1. 求数列基本量常用三种方法: (1) 根据公式直接求出基本量; (2) 列方程组(或方程),解方程组时,有时整体运算,有时两方程相除,有时先待定系数,再求解方程; (3) 运用等差数列、等比数列的性质灵活求解. 2. 数列的基本量运算的注意点: (1) 在解题时,首先观察条件和结论,看能否运用性质,如不好利用性质,再利用列方程组(或方程)的方法求解; (2) 在求解等比数列前项和的问题时,不能忽略的情形.注意数列是特殊函数,其定义域为正整数集(或它的有限子集,).解题时,要善于运用整体思想、方程思想等; (3) 已知求时,若利用,不要忘记,最后验证当时,是否满足();或者用得到,再得到,最后验证当时本式是否适用. 1. 各项均为整数的等差数列,其前项和为,已知,且,,成等比数列. (1) 求数列的通项公式; (2) 已知数列满足=,求数列的前项和. 2. 从① ;② ();③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答. 问题:已知数列的前项和为,,　　　　.是否存在正整数,使得,,成等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.  1. (多选)记为等差数列的前n项和,若,则下列结论中一定正确的有 (　　) A. B. 的最大值为 C. = D. 2. 设为公比的等比数列的前项和,且3,2,成等差数列,则=　　　　,=　　　　.  3. 在① =+;② =87;③ -=+这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答. 问题:设等差数列的前项和为,数列的前项和为,　　　　,,若对于任意的都有,且(为常数),求正整数的值.  $$为锐角,所以∠CAB=45°.故航行的方向和路程分别为北偏东65°,20(+) n mile.故选C. 2. 80　【解析】 由已知得在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+).在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理=,得BC===40(-).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+ 1600×(8-4)+2×1 600×(+)×(-)×=1 600×16+1600×4=1 600×20=32000,解AB=80. 故图中海洋蓝洞的口径为80. 3. 【解析】 (1) 由题意,设AC=x m,因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s,所以BC=x- ×340=x-40.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos∠BAC,即(x-40)2