高频考点14 平面向量共线定理的应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点14 14 平面向量共线定理的应用 　　利用平面向量的线性运算以及平面向量基本定理研究共线问题的试题在全国卷中常常以选择题或填空题的形式出现,是数形结合的典范,题目灵活多变,常考常新,题目以基础题和中档题为主,重点考查几何直观能力与数学运算能力,考查的内容有向量的线性表示问题、三点共线问题以及与三角形等图形结合的平面几何问题,解题过程中常体现向量解决平面几何问题的工具作用. 如图,在中,点在线段上,且满足,过点的直线分别交直线于不同的两点,若,,则 (　　) A.是定值,定值为2 B. 是定值,定值为3 C. +是定值,定值为2 D. +是定值,定值为3 方法1:  如图,过点C作CE平行于MN交AB于点E. 由,可得,所以, 由 可得, 所以,因为=m,所以,整理可得. 故选D. 方法2:  因为M,D,N三点共线,所以(1). 又,,所以(). 又,所以,所以. 比较系数知所以. 故选D. 　　　　本题以向量为工具研究平面几何中的动态问题,考点为平面向量的线性运算以及平面向量共线定理,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,主要考查数形结合思想和数学运算能力,解题的关键是用好平面向量共线定理.方法1中,添加辅助线∥,构造∽,将条件 转移到上,利用共线关系求出之间的关系,进而获得正确的结果;方法2中,从三点共线出发得到 ,再利用,得到 ,由平面向量基本定理确定,由基向量表示的唯一性得到,,由此获得正确的结果. 方法提炼 平面向量共线定理和平面向量基本定理是研究向量线性表示问题的主要依据,灵活运用向量的加法、减法优化表示,选用合适的基底优化向量的分解,是解决此类问题的重要手段. 在解决与三角形有关的平面向量问题时要特别关注下列结论的灵活运用: 形式1:在中,是上的点,如果,那么,其中,,知二可求一.特别地,若为线段的中点,则(). 形式2:在中,是上的点,如果,那么,其中,, 知二可求一.特别地,若为线段的中点,则(). 1. 如图,在△ABC中,,,若,则的值为 (　　) A. B. C. D. (第1题图) (第2题图) 2. 如图,在直角梯形ABCD中,90°,,,且,则的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. (多选)设M是△ABC所在平面内一点,则下列说法中正确的是 (　　) A. 若,则M是边BC的中点 B. 若2,则点M在边BC的延长线上 C. 若,则M是△ABC的重心 D. 若,且,则△MBC的面积是△ABC面积的 　(第4题图) 4. 如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.设,,则+=　　　　.  1. 如图,在正方形ABCD中,M是边BC的中点,若,则的值为 (　　) A. B. C. D. 2 (第1题图) (第2题图) 2. (多选)如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论中正确的有 (　　) A. B. C. D. 3. 如图,在△ABC中,O是边BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若,,则的最大值为　　　　.  (第3题图) (第4题图) 4. 如图,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D.若,则的取值范围是　　　　.  $$ 高频考点14　平面向量共线定理的应用 触类旁通 1. A　【解析】 =+=+=+(-)=+×=+.因为=+,所以=,=,所以+=+=.故选A. 2. C　【解析】 方法1:根据图形,由题意可得=+=+=+(++)=+(+)=+=+.因为=r+s,所以r=,s=,则2r+3s=1+2=3,故选C. 　(第2题答图) 方法2:如图,建立平面直角坐标系xAy,依题意可设点B(4m,0),D(3m,3h),E(4m,2h),其中m>0,h>0.由=r+s,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3m,3h),则解得所以2r+3s=3.故选C. 3. ACD　【解析】 对于选项A,由=+,可得-=- ,即 =,则M是边BC的中点,故A正确;对于选项B,由=2-,可得-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;对于选项C,设BC中点为D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立;对于选项D,=x+y,且x+y=,所以2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的,故选项D正确.故选ACD. 4. 3　【解析】 由于P,G,Q三点共线,所以设=(1-)+=(1-)x+y　①.又因为G是△OAB的重心,所以==×(+)=+　②.由①②得所以+