高频考点13 三角函数模型及其应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点13 13 三角函数模型及其应用 　　情境化试题是新高考的一道亮丽的风景线,这样的试题贴近生活,素材真实,特别强调学以致用.在实际生活中,很多问题都可以用三角函数模型y=A+B加以解决,因此以三角函数模型为载体的应用题成为了高考的重要考点.对于此类试题,学生需要利用图象理解数据的意义并进行模型的选择.此类试题一般为中等难度. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周的景色,如图①.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90 m,最低点距离地面的高度为10 m,摩天轮上均匀设置了36个座舱,如图②.摩天轮开启后按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30 min,从游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1) 设经过min后游客甲距离地面的高度为 m,已知关于的函数解析式满足H(t)=(其中),求摩天轮转动一周的解析式H(t); (2) 游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30 m? (3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距离地面的高度差为m,求的最大值. (1) 因为,且摩天轮的最高点距离地面的高度为90 m,最低点距离地面10 m,所以 解得 又摩天轮转一周需要30 min,所以周期,所以, 即(*). 因为从游客甲坐上摩天轮的座舱(最低处)开始计时, 所以当时,H=10. 将,代入(*)式可得10=40+50,所以=-1,取=, 所以关于的函数解析式是40+50=50-40(030). (2) 令=50-40=30,所以, 因为030,所以或. 故游客甲坐上摩天轮后的5 min或25 min时,距离地面的高度为30 m. (3) 因为游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱, 将甲、乙两人的位置分别用A,B表示,如图,则, 所以=40=40=40=40(), 又因为,所以, 所以当或,即或时,取得最大值,且最大值为40. 故的最大值为40. 　　　　本题以摩天轮为载体,考查运用三角函数模型解决实际生活问题的能力,属于情境化应用型试题.此类问题主要考查学生的应用意识,检测学生的阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力,体现数学建模素养.解决本题的关键是仔细读题和审清题意,正确理解最高点与最低点以及转动一周所需的时间在三角函数模型中的对应值,以此通过待定系数法求得三角函数关系H=40+50,并利用这一三角函数关系解决相关的问题. 方法提炼 三角函数模型实际应用的两种类型: 1. 已知三角函数模型:解题时需要理解数据的意义,运用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则. 2. 把实际问题抽象转化成数学问题,利用散点图确定三角函数模型:解题时需要求出精确的函数解析式或者利用已知数据建立拟合函数解决实际问题. 1. 筒车是一种水利灌溉工具.如图,已知某筒车的半径为4 m,筒车转轮的中心到水面的距离为2 m,筒车沿逆时针方向以角速度转动,规定:在盛水筒对应的点从水中浮现(即时的位置)时开始计算时间,且以为坐标原点,过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系,设盛水筒从点运动到点时经过的时间为(单位:s),且此时点距离水面的高度为(单位:m),筒车经过6 s第一次到达最高点,则下列叙述中正确的是 (　　) (第1题图) A. 当t=16 s时,点与点重合 B. 当t∈时,h一直在增大 C. 当t∈时,盛水筒有5次经过水面 D. 当t=50时,点P在最低点 2. 如图,如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系,那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点,如果这些点恰好在函数的图象上,且图象过点,相邻最大值与最小值之间的水平距离为,则下列选项中是函数的单调递增区间的为 (　　) (第2题图) A. B. C. D. 3. 已知某海滨浴场的海浪高度(单位:m)与时间(0t24)(单位:h)的函数关系记作,下表是某日各时的浪高数据: t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 经长期观测,的曲线可近似地看成是函数的图象. (1) 根据以上数据,求函数的最小正周期T、振幅A及函数解析式; (2) 依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8~20 h之间,有多长时间可供冲浪者进行运动. 1. 如图,某地一天6~14 h的温度变化曲线近似满足函(),则这段曲线的函数解析式为