第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（课时作业）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后案学业评价·层级训练 /夯基确·提技能·素养达碳 [基础巩固夯基提能] 1.不等式a2十4a2≥4中，等号成立的条件是() A.a=4 B.a=2 C.a=-2 D.a=±2 解析此不等式等号成立的条件为a2=4a2,即a=±2，故选D 答案D 2.若心0，>0，且y=10,则2x+5y的最小值为( ) A.20 B.10 C.210 D.10 解析由不等式2x+十5y≥21y=20,当且仅当2x=5y时等号成立，又y=10,所以y =2,x=5时，2x+5y取最小值20 答案A 3.已知y=x+1x-2(x<0),则y有() A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为一4 D.最小值为一4 解析'x0,∴y=一（一x)十1(-一x)月-2≤-2-2=-4， 当且仅当一x=1一x时，即x=一1时“=”成立. 答案C 4.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式中正确的是() A.ab≤as4 alcol(fia十b22 B.ab≤a2+b22 C.1ab≥2a2+b2 D.labalvs4alicol(f(2a+b))2 解析由a2+b2≥2ab知B,C正确，由均值不等式知，ab≤laws4 alcol(fa十b2) 2, ∴.lab≥avs4 alcolt/f2a+b2,故A正确，D错误. 答案ABC 5.已知一1x<0,则当x(1十x)取最小值时，x的值为 解析，一1x<0,.一x>0,1十x>0, .-1+x)≤-x+(1+x)2)2=14, 当且仅当一x=1十x,即x=一12时，“=”成立， ∴x1+x9)≥-14， 即x1十x)取最小值时，x的值为一12 答案一12 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.设a十b=M(a>0,b>0),M为常数，且ab的最大值为2，则M等于 解析因为a十b=M(a>0,b>0), 由基本不等式可得，ab≤avs4alco1fa十b2)2=M24, 因为ab的最大值为2， 所以M24=2,M>0,所以M=22 答案22 7.已知a,b是不相等的正数，x=,y=a十b,则x,y的大小关系是 解析x2=ab)2,y2=a+b=a+b十a+b2 a+b>2ab(a>0,b>0且a≠b),x2y2.x0,0,y 答案ry 8.设a>0,b>0,且a+b=1a+1b,证明：a十b≥2 证明由a>0,b>0知a+b0,又a十b=1a+1b=a十bab,故ab=1, 即有a十b≥2ab=2,当且仅当a=b时取得等号， “.a十b≥2（当且仅当a=b=1时取“=”） [关键能力综合提升] 9.若实数a,b满足Ia十2b=ab,则ab的最小值为() A.2 B.2 C.22 D.4 解析因为1a十2b=ab,所以a>0,b>0, 因为ab=1a+2b≥212b=22ab), 所以ab≥22（当且仅当b=2a时取等号）， 所以ab的最小值为22 答案C 10.若x心1，则y=x2x一1的最小值为( A.3 B.-3 C.4 D.-4 解析x>1,x一1>0， ∴y=x2x-1=x2-1+lx-1=x+1+1x-1=(x-1)+ 1x-1+2≥21x-1)+2=4, 当且仅当1x一1=x一1，即c一1)2=1时，等号成立，.当x=2时，y的最小值为4. 答案C 11.设>0，则y=x十22x+1-32的最小值是 解析因为x0,所以x十12>0， 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以y=x+22x+1-32=avs41alco1c+12)+112-2≥2rc4112)-2=0, 当且仅当x十12=112，即x=12时等号成立，所以y=x十22x十1一32的最小值为0 答案0 12.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为 a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p一a)(p一b)(p一c)求得，其中p为三角形 周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8,b十 c=10,则此三角形面积的最大值为 解析由已知可得p=a十b十c2=9, 所以S=9(9-a)(9-b)(9-c) =3(9-b)(9-c)≤3×(9-b+9-c)2=12 当且仅当b=c=5时，等号成立，故该三角形面积的最大值为12 答案12 13.已知a,b都是正数，求证：211b≤ab≤a十b2≤a2十b22). 证明：a>0,b>0,.la+1b≥21ab), .111b≤1f1ab). 即211b≤ab(当且仅当a=b