高频考点17 利用正、余弦定理解决实际应用问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点17 · 利用正、余弦定理解决实际应用问题 一、直击考点 利用正、余弦定理解决实际应用问题是多年来高考中常考常新的一类问题,难度通常为中等.这类问题在新高考全国卷中“新”在情境化命题,即通过选取适宜的素材,设计不同的情境载体,考查正、余弦定理的应用.要解决此类问题,必须理解题意,分析研究关键三角形,灵活运用正、余弦定理优化解题过程. 二、好题赏析 [2021·全国甲卷(理)]2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新雪面高程为8848.86 m.三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有三点,且在同一水平面上的投影满足,.由点测得点的仰角为,与的差为100;由点B测得点A的仰角为,则两点到水平面的高度差约为(≈1.732,结果保留整数) (　　) A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 【深度剖析】 过点作 交 于点,过作 交 于点,故.由题意,易知△ADB为等腰直角三角形,所以,所以.因为,所以,在中,,,则,由正弦定理得,而,所以,所以.故选B. 【题眼】本题以测量珠穆朗玛峰新高度问题为背景,考查正、余弦定理在解决实际生活问题中的应用.此类问题对阅读理解、分析审题能力的要求较高,解题的关键是创造应用正、余弦定理的条件,如本题,添加辅助线,分析高度差在中,求得,在中,利用正弦定理求得,进而得解. 三、触类旁通 1. 小明同学为了估算某大楼的高度,在大楼的正东方向找到一座建筑物其高为m,在大楼和建筑物之间的地面上的点(三点共线)处测得楼顶、楼顶的仰角分别是和,在楼顶处测得楼顶的仰角为,则小明估算该大楼的高度为 (　　) 　(第1题图) A. 200 m B. 300 m C. 200m D. 300m 2. 如图,高山上原有一条笔直的山路,现在又新架设了一条索道,小李在山脚处看索道,发现;从B处攀登400 m到达处,看索道,发现;从处再攀登800 m可到达处,则索道的长为　　　　m.  (第2题图) 3. 第十届中国花博会于2021年5月在上海崇明举办,其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念,拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体,屋顶跨度280 m,屋面板只有250 mm,相当于一张2 m长的桌子,其桌面板的厚度不到2 mm.图①为建成后的世纪馆;图②是建设中的世纪馆;图③是场馆的简化图. (第3题图) 如图③是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形,已知∥∥∥,分别为直线与两个半圆的交点,若=280m,=128 m,,,,求的长.(≈1.732,结果保留整数) 四、方法提炼 1. 本题为正、余弦定理的实际应用题,需要根据试题的具体情境,在求高度差的过程中,借助辅助线,结合对应图形将目标转化为求,并分析其几何特性,将的边长、的边长转化到中,利用正弦定理求解.解决问题的过程中主要运用了数形结合、转化与化归等数学思想. 2. 利用正、余弦定理解决实际应用问题的一般步骤: (1) 分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2) 建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽量集中在相关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型; (3) 求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解; (4) 检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解. 五、巩固反思 1. 我国海军在某海域例行巡逻.某天,一艘巡逻舰从海岛出发,沿南偏东的方向航行40 n mile后到达海岛,然后再从海岛出发,沿北偏东的方向航行了40 n mile到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛,则航行的方向和路程分别为 (　　) A. 北偏东,20n mile B. 北偏东,20 n mile C. 北偏东,20 n mile D. 北偏东,20 n mile 2. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图海洋蓝洞的口径(即两点间的距离),现取两点,测得,则图中海洋蓝洞的口径大小为　　　　. (第2题图) 3. 为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的弹射型气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图,三地位于同一水平面上,这种仪器在地进行垂直弹射实验,观测点两地相距100 m,,在地听到弹射声音(已知声音的传播速度为340 m/s)的时间比地晚 s.在地测得该仪器至最高点处的仰角为. (1) 求两地的距离; (2) 求这种仪器的垂直弹射高度. 　(第3题图) $$