高频考点16 三角形中的三角函数关系-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点16 · 三角形中的三角函数关系 一、直击考点 三角形中的三角函数关系是高考数学的重要考点,一般是中档题,主要涉及求边、求角、判断三角形形状以及探索三角形中的数量关系等问题.解决此类三角函数问题的方法万变不离其宗,其本质离不开正、余弦定理与三角恒等变换. 二、好题赏析 在① ;② 三角形的面积;③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并给出解答. 问题:在锐角三角形中,角所对的边分别为,满足　　　　.  (1) 求角的大小; (2) 求++的取值范围. 【深度剖析】(1) 选择条件①:由,结合正弦定理可得2=,因为0,所以,又为锐角三角形,故.选择条件②:由条件②得三角形的面积,即×=,结合余弦定理可得,即,又因为△ABC为锐角三角形,所以.选择条件③:由,结合正弦定理将边化为角,可以得到2,因为,所以,又因为为锐角三角形,故.（2）结合(1)的结论有++=++=- ++=++=+.由可得,,则∈，,+∈.即++的取值范围是. 【题眼】本题以解三角形为载体,为结构不良的开放性试题.解题的关键是对条件进行分析筛选,首先选择最适合解决问题的条件,然后结合正、余弦定理,化边为角或化角为边加以解决.第(1)题,若选条件①,有,则利用正弦定理将边化为角,即可解出角B;若选条件②,有,结合三角形面积公式,利用等积关系结合余弦定理,即可解出角B;若选条件③,有,既可以利用正弦定理将边化为角,也可以利用余弦定理化角为边.第(2)题求的取值范围实质上是求含双变量A和C的三角函数式的取值范围,故需将含有三个角的三角函数式化简为只含有一个变量A的三角函数式,然后由锐角三角形这个条件确定自变量A的取值范围,最后结合三角函数的图象和性质,求得其取值范围. 三、触类旁通 1. 在中,分别为内角的对边,且=,则是 (　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上判断都不正确 2. (多选)在中,角所对的边分别为,则下列说法中正确的有 (　　) A. 若,则 B. 若,则为等腰三角形 C. D. 若0,则为钝角三角形 3. (2021·新高考全国Ⅱ卷)在中,角所对的边分别为,且. (1) 若2=3,求的面积; (2) 是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 四、方法提炼 解三角形的基本策略:利用正、余弦定理实现边角互化.求多变量表达式的最值是解三角形问题中一种常见类型,求解方法主要有两种:一是转化为关于某一个角的函数,利用三角函数性质或函数思想求最值;二是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值.解题时要特别注意三角形自身的制约条件对结果的影响.解决这类问题的过程主要运用了转化与化归及函数与方程的数学思想. 五、巩固反思 1. (多选)在中,角的对边分别为,已知,=,则 (　　) A. B. C. D. 2. 在中,角的对边分别为,且.如果当变化时,存在最大值,那么正数的取值范围是　　　　　　.  3. (2021·新高考全国Ⅰ卷)在中,角所对的边分别为,已知,点在边上,. (1) 求证:; (2) 若,求. $$