高频考点15 平面向量的数量积及其应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点15 · 平面向量的数量积及其应用 一、直击考点 平面向量的数量积运算是几何问题代数化的一种重要途径,也是高考常考的一类基本问题.相关试题还涉及向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等考点,重点考查数形结合思想以及数学运算能力.这类问题通常以单选题、多选题、填空题等形式呈现.近年来,高考中跨学科情境题等的出现,使此类试题形式更加丰富多彩.解决此类问题的方法万变不离其宗,其本质离不开灵活运用代数、几何、向量性质来解题. 二、好题赏析 (多选)已知是边长为2的等边三角形,,分别是,上的两点,且,,与交于点,则下列说法中正确的是 (　　) A. · B. C. D. 在方向上的投影向量的模长为 【深度剖析】 由,知为中点,则.以为坐标原点,,分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系,如图.则,,,,.因为, ·,所以选项A错误.设,,则,,∥,所以,解得,即是中点,,所以选项B正确.,所以选项C正确.,,在方向上的投影向量的模长为,所以选项D正确.故选BCD. 【题眼】本题是多选题,考查视角较多,主要考点是平面向量的数量积以及模与投影向量,解题的关键是选择合适的解题策略,解题的基本思想是数形结合.对于特殊图形可以考虑在适当位置建立平面直角坐标系,以便简化运算,如本题,以E为坐标原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标,然后求解即可. 三、触类旁通 1. (2020·新高考全国Ⅱ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则· 的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 2. (多选)如图,在Rt△ABC中,是斜边上的高,则下列等式中成立的有 (　　) 　(第2题图) A. · B. · C. · D. 3. 若向量满足,且·,则的最小值为　　　　.  4. 已知是半径为1的圆上的三点,线段为圆的直径,为圆内(含圆周)一点,求···的取值范围. 四、方法提炼 1. 求非零向量的数量积通常有三种方法: (1) 直接法:若两向量共起点,则直接可得两向量的夹角,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算; (2) 几何法:根据图形之间的关系,用长度和夹角已知的向量分别表示出向量,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解; (3) 坐标法:若图形适合建立平面直角坐标系,则可先建立坐标系,求出的坐标,通过坐标运算求解. 2. 求向量的模的方法: (1) 公式法:利用=及=±+,把向量的模的运算转化为数量积的运算; (2) 几何法:利用向量的模的几何意义求解. 3. 求向量模的最值(或取值范围)的方法: (1) 代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解; (2) 几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 五、巩固反思 1. (2019·新课标全国Ⅱ卷)已知,,1,则·等于 (　　) A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 2. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足·,则的最大值是 (　　) A. 1 B. 2 C. D. 3. (多选)若均为单位向量,且··,则的值可能为 (　　) A. -1 B. 1 C. D. 2 4. 在平面直角坐标系中,已知点,是圆上任意两个不同的点,且,则·的取值范围是　　　　　　.  $$