高频考点36 统计图表与回归分析 -【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点36 统计图表与回归分析 一、直击考点 统计图表与回归分析是高考常考的一类问题,一般是基础题或中档题.解决这类问题的方法万变不离其宗,其本质离不开灵活运用相关系数公式、经验回归方程等分析、计算实际问题. 二、好题赏析 某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的. (1) 根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度; (2) 该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表: 广告投入/万元 1 2 3 4 5 销售收益 /万元 2 3 2 5 7 　　请根据表中的数据,判断广告投入与销售收益之间是否存在线性相关关系,如果具有线性相关关系,请求出关于的经验回归方程; (3) 若广告投入为6万元时,实际销售收益为7.3万元,求残差. 参考公式: 【深度剖析】 (1) 设频率分布直方图中各小长方形的宽度为,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知,所以,即频率分布直方图中各小长方形的宽度为2.(2) 由题意,可知=,=, 根据样本相关系数公式,得，故广告投入与销售收益之间存在线性相关关系.根据参考公式,得=,，所以关于的经验回归方程为.(3) 当时,销售收益的预测值(万元).又实际销售收益为7.3万元,所以残差(万元). 【题眼】 本题考点是频率分布直方图、经验回归方程.本题的解题策略是利用回归分析的方法,根据样本相关系数的值判定广告投入与销售收益之间存在线性相关关系,然后求得经验回归方程为,并由此对时的销售收益进行预测,从而求得残差. 三、触类旁通 1. 为了研究某大型超市开业天数与销售额的关系,随机抽取了5天,其开业天数与每天的销售额的情况如下表: /天 10 20 30 40 50 /万元 62 75 81 89 根据上表提供的数据,求得关于的经验回归方程为,由于表中有一个数据模糊看不清,请你推测该数据的值为 (　　) A. 68 B. 68.3 C. 71 D. 71.3 2. 某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资,但是同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间与工资之间的关系如下表: /h 2 4 5 6 8 /元 30 40 50 60 70 若与的经验回归方程为,预测当工作时间为9 h时,工资大约为　　　　元.  3. 某体育用品制造厂在某月份生产了一批乒乓球,质检人员从中随机抽取个进行检查,测得每个球的直径(单位:mm),并将数据进行分组统计,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 [39.95,39.97) 6 P1 [39.97,39.99) 12 0.20 [39.99,40.01) 0.50 [40.01,40.03] P2 合计 1.00 (1) 求及P1,P2的值,并画出频率分布直方图; (2) 已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,直径在内的乒乓球为“五星球”,若这批乒乓球共有10 000个,试估计其中“五星球”的数目; (3) 估计这批乒乓球直径的平均数和中位数. 4. 某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价和购买人数的关系如下表: /(元/月) 30 35 40 45 50 /万人 18 14 10 8 5 (1) 根据表中的数据,运用样本相关系数进行分析说明,是否可以用一元线性回归模型拟合与的关系,并指出与是正相关还是负相关; (2) ① 求出关于的经验回归方程; ② 若该通信公司在一个情况类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月,请用所求经验回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人. 参考数据:,,. 四、方法提炼 1. 求经验回归方程的一般步骤:(1) 作出散点图,依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点,观察点的分布是否呈条状分布,即是否在一条直线附近,从而判断两变量是否具有线性相关关系;(2) 当两变量具有线性相关关系时,第一步:利用公式,求,第二步:利用经验回归直线过样本中心点求系数,写出经验回归方程. 2. 一元线性回归分析:(1) 利用经验回归方程进行预测:把经验回归方程看作一次函数,求函数值;(2) 利用经验回归直线判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是样本相关系数r;(3)