高频考点20 数列求和问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点20 · 数列求和问题 一、直击考点 数列求和是初等数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法在高等数学的学习中起着重要作用,因而数列求和问题成为高考的热点.数列求和中除了等差数列和等比数列求和可以使用求和公式外,其余大部分数列的求和都需要一定的技巧,如分组求和、裂项求和、错位求和以及倒序求和等.这类试题可以是选择题、填空题或解答题,基本上属于中档题. 二、好题赏析 已知等差数列的前项和为,+=12,=16. (1) 求数列的通项公式; (2) 若数列满足=,且为数列的前项和,求证:; (3) 若数列满足=,为数列的前项和,则是否存在正整数,使得=3?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【深度剖析】(1) 设等差数列的公差为,由 得解得所以.(2) 证明:由(1)知,=,则　①,　②,①-②得.所以.所以,当时,取得最小值-1,当时,取得最大值3,即-13.(3) 由(1)知,,所以.=++…+===,若,则,整理得,又,所以 即解得,又所以,此时.所以存在,使得. 【题眼】本题是以数列求和为载体的综合性问题,集错位求和、裂项求和等方法于一体.解决这类问题的关键是掌握数列求和的典型方法,如第(2)题,=,用错位求和法求得,由此可构造出正整数集上的离散函数,然后利用函数的单调性确定该函数取值范围;第(3)题则通过对通项公式的变形,创造裂项求和的条件,即,用裂项求和的方法求得.本题中对是否存在正整数使得的探究,可利用条件,将用来表示,然后通过求的范围来确定是否存在及取值. 三、触类旁通 1. 已知数列的前项和(其中),且的最大值为8. (1) 确定常数,并求的通项公式; (2) 设数列的前项和为,求证:4. 2. 已知是等比数列,是等差数列,==1,=4,=. (1) 求与的通项公式; (2) 记表示不大于的最大整数,.若将数列的前21项和记为,求的值. 3. 已知正项数列的前项和为,且4=. (1) 求数列的通项公式; (2) 在① ;② ·;③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并求解. 问题:若　　　　,求的前项和.  四、方法提炼 数列求和的方法中常见的有错位求和法与裂项求和法. 1. 错位求和法:如果数列是等差数列,是等比数列,则求数列的前项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解.这是等比数列求和公式的推导过程的推广. 2. 裂项求和法: (1) 数列形如时,可转化为; (2) 数列形如时,可转化为(-); (3) 数列形如时,可转化为. 五、巩固反思 1. 已知数列满足=1,-=,则的最小值为 (　　) A. B. C. 1 D. 2 2. (2021·新高考全国Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸手工艺者在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和 ,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和=180 ……以此类推,对折4次共可以得到　　　　种不同规格的图形;如果对折次,那么  3. 已知是数列的前n项和,且满足. (1) 求数列的通项公式; (2) 设,求数列的前项和. $$