高频考点19 等差数列、等比数列的性质及其应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点19 · 等差数列、等比数列的性质及其应用 一、直击考点 等差数列、等比数列的性质是历年高考的热点,有时会与等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等知识结合起来考查,相关题型以选择题和填空题为主,也有解答题,难度不大,基本上属于中档题.灵活运用等差、等比数列的性质可减少运算量. 二、好题赏析 (多选)已知数列的前项和为,则下列说法中正确的有 (　　) A. 若点在函数的图象上,则为等差数列 B. 若,则为等比数列 C. 若为等差数列,,则 D. 若为等比数列,,,则 【深度剖析】对于选项A,由点在函数的图象上,即,因为,所以为等差数列,A正确.对于选项B,由,所以(),当时,1,所以不是等比数列,B不正确.对于选项C,在等差数列中,,于是,所以,C正确.对于选项D, 方法1:由,得,则等比数列的公比,则得=7,令,则=7,即,解得或(舍去),,则,D正确.方法2:由,,成等比数列,即,解得=30或(舍去),D正确.故选ACD. 【题眼】本题是多选题,多角度考查了等差数列和等比数列的性质及其应用.解决本题的关键是深入理解等差数列、等比数列的性质,在本题中,A,B选项聚焦等差数列和等比数列的定义,从函数观点来看,等差数列(非常数列)对应一次函数,等比数列(非常数列)对应函数(),而C,D选项聚焦等差中项以及等距片段和的性质. 三、触类旁通 1. (多选)已知数列是公差不为0的等差数列,前项和为,且满足+5=,则下列选项中正确的有 (　　) A. =0 B. = C. 最小 D. =0 2. 设是等比数列的前n项和,且满足3=7,=,则的值为 (　　) A. 3 B. C. 3或 D. 3或 3. 已知数列的通项公式为=,记数列的第项到第项的和为,试探究当取得最小值时的值. 4. 设是等差数列的前项和,=1,=39. (1) 求数列的通项公式; (2) 是否存在,使得?若存在,求满足条件的的最大值;若不存在,请说明理由. 四、方法提炼 解决等差数列、等比数列相关的问题时,要特别关注以下性质的活用: 已知数列的前项和为,对于任意正整数: (1) 若是等差数列(非常数列),且,-,-成等差数列; (2) 若是等比数列(非常数列),,且当0时,,-,-成等比数列. 对于涉及特殊等差数列、等比数列的问题,若能运用以上性质往往可以快速解题. 五、巩固反思 1. (多选)设数列的前项和为,若+=A,则下列说法中正确的有 (　　) A. 存在使得是等差数列 B. 存在使得是等比数列 C. 对任意都有一定是等差数列或等比数列 D. 存在使得既不是等差数列也不是等比数列 2. 已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为 (　　) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知等差数列的各项均不为零,其前项和为.若=+,求. 4. 已知等差数列的公差.设的前项和为,=1,·=36. (1) 求及; (2) 求的值,使得+++…+=65. $$