高频考点18 等差数列、等比数列的基本量运算-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点18 · 等差数列、等比数列的基本量运算 一、直击考点 等差数列和等比数列的通项公式和前项和的问题是多年来高考常考常新的一类问题,这类问题通常为中等难度.解决等差、等比数列通项公式和前项和问题的方法万变不离其宗,其本质离不开灵活运用基本量以及性质优化解题过程. 二、好题赏析 在① ;② ;③ 这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答. 问题:已知数列的前项和为,满足　　　　,　　　　;又知正项等差数列满足,且,,成等比数列.  (1) 求和的通项公式; (2) 求证:++…+. 【深度剖析】由条件①有,两边同时加上2,有,两边同时减去得,即条件③.故①③为等价条件,不能同时选择.选择条件①②:(1) 由,当时,有,两式相减得,即,.又当时,有,因为,所以,也符合,所以数列是首项、公比均为的等比数列,所以.设正项等差数列的公差为,因为=2,且,,成等比数列,所以=,即=2,解得或(舍去),所以.故,.(2) 证明:由(1)可得=,所以 ++…+==.选择条件②③:(1) 由,当时,,两式相减得,3,即,.又当时,有,因为,所以,也符合,所以数列是首项、公比均为的等比数列,所以.设正项等差数列的公差为,因为,且,,成等比数列,所以,即,解得或(舍去),所以.故,.(2) 证明:由(1)可得=,所以 ++…+==. 【题眼】本题以等差数列、等比数列为载体,为结构不良的开放性试题.由于本题是开放性试题,解题时应先对条件进行筛选,然后再求解.经分析可知条件①和③为等价条件,因此只能选择条件①②或条件②③进行解题.通过正确运用数列通项公式与前n项和的关系(),容易找到数列的等比关系为,再利用等差数列、等比数列的基本量运算完成求解.解决本题的过程体现了转化与化归的数学思想. 三、触类旁通 1. 各项均为整数的等差数列,其前项和为,已知,且,,成等比数列. (1) 求数列的通项公式; (2) 已知数列满足=,求数列的前项和. 2. 从① ;② ();③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答. 问题:已知数列的前项和为,,　　　　.是否存在正整数,使得,,成等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.  四、方法提炼 等差数列、等比数列的基本量是指数列的首项、公差(公比)、项数、项以及前项和. 1. 求数列基本量常用三种方法: (1) 根据公式直接求出基本量; (2) 列方程组(或方程),解方程组时,有时整体运算,有时两方程相除,有时先待定系数,再求解方程; (3) 运用等差数列、等比数列的性质灵活求解. 2. 数列的基本量运算的注意点: (1) 在解题时,首先观察条件和结论,看能否运用性质,如不好利用性质,再利用列方程组(或方程)的方法求解; (2) 在求解等比数列前项和的问题时,不能忽略的情形.注意数列是特殊函数,其定义域为正整数集(或它的有限子集,).解题时,要善于运用整体思想、方程思想等; (3) 已知求时,若利用,不要忘记,最后验证当时,是否满足();或者用得到,再得到,最后验证当时本式是否适用. 五、巩固反思 1. (多选)记为等差数列的前项和,若,则下列结论中一定正确的有 (　　) A. B. 的最大值为 C. = D. 2. 设为公比的等比数列的前项和,且3,2,成等差数列,则=　　　　,=　　　　.  3. 在① =+;② =87;③ -=+这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答. 问题:设等差数列的前项和为,数列的前项和为,　　　　,,若对于任意的都有,且(为常数),求正整数的值.  $$