2.1 等式性质与不等式性质（第一课时）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

河北定兴中学高一数学学案 班级 ： 姓名： 2.1 等式性质与不等式性质（第一课时） 制作人：范雪红 审定人:乔博 一.课标要求 （1） 掌握实数比较大小的充要条件，熟练运用作差法比较代数式的大小。 （2） 规范比较大小、简单证明题型的书写步骤，形成严谨的代数推理能力。 二.学习目标 （一）能够从实际问题中抽象不等关系构建不等式，会利用作差法比较代数式的大小，培育数学运算核心素养。 （二）通过类比等式性质探究不等关系，掌握作差比较法，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力。 （三）借助赵爽弦图理解重要不等式，感受等式与不等式知识的内在联系，体会不等关系在现实生活中的应用，养成严谨规范的代数变形习惯。 三.自主学习 阅读教材，完成以下问题： 概念填空 1.现实中相等关系用＿＿＿表示，不等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示。"不超过""至多"用符号＿＿＿＿＿，"不少于""至少"用符号＿＿＿＿＿。 2.两个实数大小关系的基本事实： a＞b⇔ ;a＝b⇔ ;a＜b⇔ . 3.重要不等式：对任意，有＿＿ ，当且仅当＿＿＿＿＿时等号成立。 四.合作探究 探究（一）：构建不等式 1、 新知导学 问题（1）你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 1 某路段限速40； 2 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f有应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 3 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 4 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 1　 ； 2　 ； 3　 ； 4　 . 问题（2）. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 不等关系： ； 设提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为 ； 销售总收入为 万元。于是，不等关系：“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 。 . 2、 新知生成 构建不等式的步骤： ( 建立不等式 ) ( 用 连接这些字母 ) ( 用 表示不等关系中的数 ) ( 从实际问题中抽象出不等关系 ) 探究（二）：“作差法”比较大小 1、 新知导学 在日常生活中，有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知a克糖水中含有b(a＞b＞0）克糖，再添加m（m＞0）克糖（假设全部溶解）. 问题（1）：你能将糖水变甜这一事实用一个不等式表示吗？ 问题（2）：如何从理论上比较与的大小？ 2、 新知生成 （1）关于实数a，b大小的，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么 ； 如果a-b等于0，那么 ； 如果a-b是负数，那么 .反过来也对. （2）这个基本事实可以表示为: a＞b⇔ ; a＝b⇔ ; a＜b⇔ . 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为它们的差与 的大小. 探究（三）：重要不等式 1、新知导学 右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将风车图抽象成左图，设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 (1)正方形的面积 ； 四个直角三角形的面积和 ; （2）与有什么样的不等关系，如何表示？ （3）与会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 2、新知生成 一般地，，有 ，当且仅当 时，等号成立． 问题：你能证明重要不等式吗？ 探究（四）：典例分析 例1.比较和的大小 五.归纳提升 （一）本节课我们学会从现实问题抽象不等关系，利用实数大小的基本事实，掌握作差比较大小的方法，借助赵爽弦图理解重要不等式，体会数学建模、转化化归、数形结合的思想。 （二）作差法比较大小一般步骤： ； ； ； ． 六.当堂过关 （一）基础过关 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数; 2.比较和的大小. （二）能力提升 3.已知,证明. 4.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”. （三）思维拓展 5.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $