高频考点2 分段函数 -【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点2 分段函数 一、直击考点 以分段函数为载体的求值(或取值范围)及函数零点等问题历来是高考的重点和热点,一般是中档题或较难题,题型有单选题、多选题、填空题等.在分段函数中最为复杂的一类问题是含有抽象函数的问题,解决这类问题可借助整体换元的方法,利用分类讨论和数形结合的思想求解. 二、好题赏析 设函数若存在实数,使得关于的方程有4个不相等的实数根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数的取值范围是　　　　.  【深度剖析】方法1:易知函数在区间上的图象关于直线对称.由解得.当,即时,的图象如图①,则方程至多有2个根,不符合题意;当,即时,的图象如图②,一定存在实数,使得方程有4个根. 将方程的4个根分别设为, , , ,且.由得.由,,得,,所以方程的4个根的平方和.由解得,令,则在上单调递减,所以,所以,要使得在上存在最小值,则,解得,故实数的取值范围是.方法2:由解得.当,即时,方程至多有2个根,不符合题意;当,即时,一定存在实数,使得方程有4个根.将方程的4个根分别设为, , , ,且.由得.由,,得,,所以方程的4个根的平方和,当时取最小值,又,于是,解得,故实数的取值范围是.方法3:由解得.当,即时,方程至多有2个根,不符合题意;当,即时,一定存在实数,使得方程有4个根.将方程的4个根分别设为, , , ,且.由得方程的4个根的平方和,令,则原式,当时取最小值,所以取最小值时,解得.故实数的取值范围是 【题眼】本题以分段函数为载体,解题的关键是分析和探索“方程有4个不相等的实数根”所隐含的条件.三种解题方法的共同特点是发现了函数在区间上的图象关于直线对称,并由此利用方程的4个根的平方和存在最小值,构造新函数解决问题,数形结合和转化与化归思想在解题中得到了很好的体现. 三、触类旁通 1. (多选)已知函数设方程的4个不相等的实数根从小到大依次为, , , ,则下列判断中一定成立的是 (　　) A. B. C. D. 2. 已知函数若对任意均成立,则实数的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3. 已知函数若关于的方程有5个不相等的实数根,则实数的取值范围是　　　　　　.  四、方法提炼 1. 含有抽象函数的分段函数问题,在处理时首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用或者对函数图象的影响,如本题函数图象关于直线对称. 2. 已知分段函数有零点(或方程有根)求参数取值范围的常用方法: (1) 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数取值范围; (2) 分离参数法:将参数分离,将原问题转化成求函数值域的问题加以解决; (3) 数形结合法:首先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后利用数形结合求解. 五、巩固反思 1. (多选)已知函数若存在实数, , , ()满足,则 (　　) A. B. C. D. 2. 已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3. 已知函数(),若函数有3个零点,则实数的取值范围是　　　　　　.  $$