高频考点9 利用导数研究函数的单调性、极值、最值-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点9 · 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、直击考点 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的必考考点.函数综合题一般都从研究函数的单调性出发,步步深入.这类试题考查的内容多样:根据函数的单调性研究极值、最值问题,根据极值、最值研究恒成立问题和存在性问题,借助极值、最值证明不等式问题,等等.题型可能是选择题、填空题,也可能是解答题中的一小题,难度一般较大,常作为把关题. 二、好题赏析 已知函数. (1) 讨论的单调性; (2) 是否存在使得在区间上的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出的所有值;若不存在,请说明理由. 【深度剖析】(1) .当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.(2) 若在区间上有最小值-1和最大值1,则当时,因为在上单递增,在上单调递减,在上单调递增,所以此时在区间上单调递增,所以,代入,解得与矛盾,所以不成立.当时,在上单调递增,所以在区间上单调递增,所以,代入,解得 当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,即在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以在区间上的最小值为,而,所以在区间上的最大值为,即两式相减得,即,又,所以无解.当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.即在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以在区间上的最小值为,而,所以在区间上的最大值为,即两式相减得,解得,又,所以无解.当时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为,最小值为,即解得综上可得或 【题眼】本题以三次函数为载体,聚焦函数的单调性和最值.解题的关键在于掌握利用导数研究函数性质的一般方法.数形结合和分类讨论是解决本题的核心思想.在本题第(1)题研究了的单调性的基础上,根据题意,对第(2)题分三种情况进行讨论.在最复杂的的情况下,根据区间与区间,,的关系进一步讨论与3的大小关系.在的情况下,还需比较的大小关系,进一步讨论与2的大小关系.从上面可以看出分类讨论思想贯穿于解题的始终. 三、触类旁通 1. 若函数在内有且只有1个零点,则在上的最大值与最小值的和为 (　　) A. 1 B. -3 C. 3 D. -4 2. 若直线与曲线相切,则的最大值为 (　　) A. -1 B. e+1 C. e D. e-1 3. (多选)对于函数,下列判断中正确的有 (　　) A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数,使得恒成立 D. 对任意两个正实数,若,则 四、方法提炼 利用导数研究函数性质的一般方法:借助导数的正负研究原函数的单调性;借助导数的(变号)零点研究原函数的极值点(或最值点);借助导数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点;等等.因为三次函数的导数为我们最为熟悉的二次函数,所以对于三次函数,可以借助导数的图象来研究原函数的图象. 五、巩固反思 1. 已知函数有极小值,且极小值为0,则的最小值为 (　　) A. e B. 2e C. D. 2. (2021·新高考全国Ⅰ卷)函数的最小值为　　　　.  3. (2021·北京卷)已知函数. (1) 若,求曲线在点处的切线方程; (2) 若在处取得极值,求的单调区间以及最大值与最小值. $$