高频考点8 导数的几何意义及其应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点8 · 导数的几何意义及其应用 一、直击考点 导数的几何意义及其应用是高考的热点问题,考查的内容主要有求函数图象的切线、证明直线与曲线相切、利用切线放缩法证明不等式等.相关试题出现在填空题、选择题和解答题等题型中,难度中等或中等偏难.解决此类问题,要熟练掌握各类函数的求导公式,并借助几何直观进行逻辑推理,运用数形结合思想优化解题过程. 二、好题赏析 (2021·新高考全国Ⅰ卷)若过点可以作曲线的两条切线,则 (　　) A. 　　 B. 　 　C. 　 　D. 【深度剖析】方法1:在曲线上任取一点P,对函数求导得,所以曲线在点P处的切线方程为,即,由题意可知点在直线族上,可得.令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以.由题意可知直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如图①,由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选D.方法2:画出函数的图象如图②,根据图象即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选D. 【题眼】本题以基本初等函数为载体,聚焦导数的几何意义,重点解决利用导数研究函数图象的切线以及与切线相关的函数综合问题.数形结合和分类讨论是解题的核心思想.解题的关键是对问题实施转化,方法1是严格的证明求解方法,根据导数的几何意义求得切线方程,再构造函数,利用导数研究函数图象,结合图形确定结果,在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性对极限进行估计;方法2先画出曲线的图象,根据图象即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线,这种方法是在对指数函数的图象具有清晰的认识与理解的基础上,利用指数函数图象直观解决问题. 三、触类旁通 1. 已知函数,,直线与的图象相切于点,若直线与的图象也相切,则等于 (　　) A. 0 B. -1 C. 3 D. -1或3 2. 若函数的图象上存在两个不同的点,使得曲线在这两点处的切线重合,则称函数为“自重合函数”.下列函数中为“自重合函数”的是 (　　) A. B. C. D. 3. 已知函数 (1) 讨论的单调性,并证明有且仅有2个零点; (2) 设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线. 四、方法提炼 函数在处的导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率.求解与导数几何意义有关的问题,必须熟练掌握导数运算法则,并能利用导数的几何意义求曲线的切线方程,正确区分在一点处的切线和过一点的切线是解题的关键.常见的试题类型及解题关键如下: 1. 在点处的切线即是以为切点的切线,点一定在曲线上. 2. 过点的切线即切线过点不一定是切点.在求过点的切线方程时,应首先检验点是否在已知曲线上. 五、巩固反思 1. 若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称函数具有“性质”.下列函数中具有“性质”的是 (　　) A. B. C. D. 2. (多选)已知曲线,则过点且与曲线相切的直线方程可能为 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)下列函数图象中直线可以作为其切线的有 (　　) A. B. C. D. 4. 已知函数,若存在过点的直线与和的图象均相切,则的值为　　　　.  $$