高频考点6 函数的零点-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点6 · 函数的零点 一、直击考点 函数的零点问题是高考的重点,也是难点,高考经常考查的内容有判断函数零点个数、已知函数零点个数求参数取值范围、证明零点满足的不等式,等等.这类试题常需通过取点赋值法、极值点偏移法等方法解决,且一般是较难题和难题. 二、好题赏析 设函数(),其中e为自然对数的底数. (1) 当时,求函数的单调递减区间; (2) 已知函数的导数有3个零点. ① 求的取值范围; ② 若是函数的2个零点,证明:. 【深度剖析】(1) 当时,,其定义域为.,令,得,所以函数的单调递减区间为.(2) ① ,设,有3个零点,即函数有3个非零的零点.又,若,则,所以在上单调递减,至多有1个零点,不符合题意,所以.令,得.列表如下: - + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以即解得0.又,所以在上有且只有1个非零的零点.因为当时,--,,,且,又函数的图象是连续不断的,所以在和上各有且只有1个非零的零点,所以实数的取值范围是.② 证法1:由,得设(),且,所以.又,所以.所以当或时,;当时,.由①知.因为,所以所以,.所以.证法2:依题设,知,由①知,设,由①知,所以在上单调递减.又由得,即,所以,又,故.于是(ⅰ) 又在上单调递减,所以;（ii）,又,在上单调递减,故,又,所以,即.所以. 【题眼】　本题聚焦函数的零点问题,集函数、方程、不等式于一体,属于函数的综合题.函数与方程、数形结合是解决本题的核心思想.解决本题的关键是将所求问题有效转化为熟悉的问题,如第(2)①题中,由导数有3个零点转化为()有3个非零的零点.第(2)②题要证明成立,证法1构造函数,证法2则构造函数. 三、触类旁通 1. 设函数,则函数 (　　) A. 在区间,内均有零点 B. 在区间,内均无零点 C. 在区间内有零点,在区间内无零点 D. 在区间内无零点,在区间内有零点 2. 设函数,曲线在点处的切线与轴垂直. (1) 求的值; (2) 若有一个绝对值不大于1的零点,求证:所有零点的绝对值都不大于1. 3.已知函数 (1) 若恒成立,求实数的取值范围; (2) 若函数有2个零点,求证:. 四、方法提炼 1. 处理函数零点问题,需利用函数零点存在定理的条件,即要求函数图象在区间上是连续不断的曲线,且. (1) 直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明; (2) 分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明. 2. 利用导数研究方程根(或函数零点)的技巧: (1) 研究方程根(或函数零点)的情况,可以通过导数研究函数的单调性、极(最)大值、极(最)小值、变化趋势等; (2) 根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置; (3) 利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 3. 已知函数零点个数求参数的常用方法: (1) 分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围; (2) 分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个分类下研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小取值范围并在一起,即为所求参数的取值范围. 五、巩固反思 1. 已知为R上的可导函数,当时,.若,则函数的零点个数为 (　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 2.(多选)已知函数-1在(0,+∞)上有唯一零点，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数. (1) 讨论函数的单调性; (2) 当时,判断函数()=零点的个数,并说明理由. $$