高频考点3 函数的单调性-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点3 函数的单调性、奇偶性、周期性 一、直击考点 函数的单调性、奇偶性、周期性历来是高考的重点和热点.将单调性、奇偶性、周期性融合起来的试题,往往综合性强,思维量大,一般是中档题或较难题,且频繁出现在单选题、多选题和填空题中.在这类问题中,以抽象函数为载体的试题难度较大.解决这类问题通常需要综合运用单调性、奇偶性、周期性等知识,结合数形结合思想求解.若能根据试题特点,灵活选用特例法求解,往往会取得意想不到的效果. 二、好题赏析 已知定义在R上的函数的图象关于点对称,,且函数在上单调递增,则 (　　) A. B. C. D. 【深度剖析】因为函数的图象关于点对称,所以函数的图象关于点对称,所以函数为R上的奇函数.由可得,所以函数的周期为2.因为函数在上单调递增,所以在上也单调递增,因为,所以,又函数在上单调递增,且,所以.故选A. 【题眼】本题是以抽象函数为载体,考查函数性质的综合性试题,考点涉及函数的对称性、奇偶性、周期性以及单调性的应用.解决本题的关键是通过函数图象的变换,数形结合,由函数的图象关于点对称,发现函数是奇函数,再由,发现函数是以2为周期的周期函数,在此基础上将原问题转化为同一单调区间内函数值比较大小的问题. 三、触类旁通 1. 设函数是定义在实数集上的奇函数,在区间上单调递增,且,则有 (　　) A. B. C. D. 2. (多选)已知定义在R上的奇函数为增函数,偶函数在区间上的图象与的图象重合,设,则下列不等式中成立的有 (　　) A. B. C. D. 3. 已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上单调递增.若方程在区间上有4个不同的根, , , ,则　　　　.  4. (多选)已知是定义在R上的偶函数,且,当时,,则 (　　) A. 的周期是2 B. 在上单调递减,在上单调递增 C. 的最大值是1,最小值是0 D. 当时, 四、方法提炼 1. 利用函数的奇偶性、周期性、单调性比较函数值大小的一般方法:看自变量是否在同一单调区间内,若在同一单调区间内,直接利用函数的单调性比较大小;若不在同一单调区间内,需利用函数的奇偶性、周期性把自变量转化到同一单调区间内,然后利用单调性比较函数值大小. 2. 解题时几个常见的结论: (1) 若,则函数的图象关于直线对称; (2) 若,则函数的图象关于点对称; (3) 若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称; (4) 若函数是奇函数,则函数的图象关于点对称; (5) 若,则是函数的一个周期. 五、巩固反思 1. 已知是定义域为的奇函数,满足.若,则等于 (　　) A. -50 B. 0 C. 2 D. 50 2. 已知是偶函数,且在上单调递增,若对任意均成立,则实数的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3. (2021·新高考全国Ⅱ卷)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则 (　　) A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为,且满足对于任意,有. (1) 求的值; (2) 判断的奇偶性并证明你的结论; (3) 如果,且在上单调递增,求的取值范围. $$