第4章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（课时作业）

[基础巩固·夯基提能]

1．下列四种说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x＞0，xa＞logax

C．对任意的x＞0，ax＞logax

D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax

解析　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．

答案　D

2．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是(　　)

A．a　　　 B．b　　　

C．c　　　 D．d

解析　根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．

答案　D

3．(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是(　　)

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多

C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点

解析　根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，显然甲所用时间短，所以甲先到达终点．故只有D正确．

答案　ABC

4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用____________作为函数模型．

解析　作出散点图，故选y＝x2＋1更合适．

答案　甲

5．下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．

其中，正确信息的序号是____________．

解析　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确；④错误．

答案　①②③

6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如下图所示：

(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两函数图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).

解析　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当0＜x＜x1时，g(x)＞f(x)；

当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；

当x＞x2时，g(x)＞f(x).

[关键能力·综合提升]

7．当0＜x≤时，4x＜loga x，则a的取值范围是(　　)

A．    B．

C．(1，)    D．(，2)

解析　当a＞1时，显然不成立．若0＜a＜1，当x＝时，4＝＝2，此时对数loga ＝2，解得a＝，根据对数的图象和性质可知，要使4x＜loga x在0＜x≤时恒成立，则有＜a＜1，如下图，选B.

答案　B

8．如下图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位：月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．有以下叙述：

①第4个月时，剩留量就会低于；

②每月减少的有害物质量都相等；

③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.

其中所有正确叙述的序号是____________．

解析　根据题意，函数的图象经过点，故函数为y＝.易知①③正确．

答案　①③

9．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如下图所示．