第3章 3 第2课时 指数函数的图象和性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（课时作业）

[基础巩固·夯基提能]

1．函数f(x)＝在[－1，0]上的最大值是(　　)

A．－1　　　 B．0　 　　

C．1　　 　 D．3

解析　∵f(x)在[－1，0]上是减函数，

∴f(x)的最大值为＝3，故选D.

答案　D

2．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)

A．f(－2)＞f(－1)    B．f(－1)＞f(－2)

C．f(1)＞f(2)    D．f(－4)＞f(3)

解析　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(2)＞f(1)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以A、D正确．

答案　AD

3．(多选)下列函数中，最小值为2的是(　　)

A．f(x)＝x2＋2x＋3    B．g(x)＝ex＋e－x

C．h(x)＝3x＋2    D．m(x)＝2|x|＋1

解析　对于A：f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，当x＝－1时，等号成立，故A正确；

对于B：g(x)＝ex＋e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时，等号成立，故B正确；

对于C：h(x)＝3x＋2，由于3x＞0，所以h(x)＞2，故C错误；

对于D：m(x)＝2|x|＋1≥20＋1＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，故D正确．故选ABD.

答案　ABD

4．(2022·常州期中)已知a＝0.3－0.2，b＝，c＝3－0.2，则(　　)

A．a<c<b　　　　　　　 B．a<b<c

C．c<a<b    D．b<c<a

解析　∵y＝3x在R上单调递增，且b＝＝3－0.3，∴0<3－0.3<3－0.2<30，∴0<b<c<1，

又∵y＝0.3x在R上单调递减，∴a＝0.3－0.2>0.30＝1，∴0<b<c<1<a.

答案　D

5．已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是____________．

解析　由函数f(x)＝2|x－a|＝

可知，f(x)的递增区间为[a，＋∞)，而已知函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，有a≤1，即a的取值范围是(－∞，1].

答案　(－∞，1]

6．已知2x≤，则函数y＝的值域为____________．

解析　由2x≤，得2x≤2－2x＋6，

∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴≥＝，

即y＝的值域为.

答案　

7．(2022·太原高一检测)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是____________．

解析　因为f(x)＝

＝

且f(x)在R上单调递增，

所以解得－4≤a<－2，

即a∈[－4，－2).

答案　[－4，－2)

8．设函数f(x)＝，a是不为零的常数．

(1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围；

(2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值．

解析　(1)由f(3)＝得a＝3，

∴不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，

由此可得3x－10≥2，∴x≥4，

故x的取值范围是[4，＋∞).

(2)当a＞0时，f(x)＝＝2ax－10是增函数，则当x∈[－1，2]时，

f(x)max＝f(2)＝22a－10＝16，∴a＝7；

当a＜0时，f(x)＝＝2ax－10是减函数，则当x∈[－1，2]时，

f(x)max＝f(－1)＝2－a－10＝16，∴a＝－14.

综上，a＝－14或a＝7.

[关键能力·综合提升]

9．(2022·衡水期中)设＜＜＜1，那么(　　)

A．aa＜ab＜ba    B．aa＜ba＜ab

C．ab＜aa＜ba    D．ab＜ba＜aa

解析　∵＜＜＜1，且y＝在R上是减函数，∴0＜a＜b＜1，∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab＜aa，幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa＜ba，因此ab＜aa＜ba.故选C.

答案　C

10．(多选)关于函数f(x)＝2－x－2x有下述四个结论，其中正确的结论是(　　)

A．f(0)＝0

B．f(x)是奇函数

C．f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数

D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解

解析　f(x)＝2－x－2x，f(0)＝20－20＝0，A正确；

f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，f(x)是奇函数，B正确；

f(x)＝－2x在R上是减函数，C错误；

由于x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→－∞，即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，