第1章 3.2 第1课时 基本不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（课时作业）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后案·学业评价 /疗落陆·提技睡·素养达减 [基础巩固夯基提能] 1.已知0<x<1,则当(1一x)取最大值时，x的值为( A.13 B.12 C.14 D.23 解析：0<x<1,∴1-x>0,∴.x(1-x)≤avs4 allcoll0fe十1-x2)2=14,当且仅当 x=1一x,即x=I2时，等号成立. 答案B 2.(多选)已知a,b是不相等的正数，x=,y=a十b,则x,y的关系是() A.x>y B.x<y C.x>2y D.y<2x 解析x2=ab)2<2(a十b)2=a+b,y2=a十b,x2<y2,2x2>y2,x>0,y>0,∴. x<y. 答案BD 3.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问 题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无 字证明”.如下图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A,B,O),点D 在半圆O上，且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字 证明”为() A.ab≤a+b2(a>0,b>0) B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,ab) C.2aba+bab(a>0,b>0) D.2aba+b<ab<a+b2(a>0,b>0,ab) 解析由AC=a,BC=b,可得半國O的半径DO=a+b2,易得DC=ACBC=ab,DE =DC2DO=2aba十b,,DE<DC<D0,∴.2aba+b<ab<a+b2(a>0,b>0,a≠b).故选 D 答案D 4,当a,b∈R时，下列不等关系成立的是 ①a+b2≥ab;②a-b≥2ab:③a2+b2≥2ab;④a2-b2≥2ab 解析根据x2十y22≥y,a十b2≥ab成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 答案③ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的 平均增长率x与增长率的平均值a+b2的大小关系为 解析用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1+a)1+b),A(1+x)2, 则有(1+x)2=(1十a)1+b) ∴.1+x=(1+a)(1+b)≤1+a+1+b2=1+a+b2, x≤a十b2.当且仪当a=b时等号成立. 答案x≤a十b2 6.已知a,b为正实数，且a十b=1.求证：1a+Ib≥4 证明la+1b=a十ba+a十bb=1+ba+ab+1 =2+ba+ab≥2+2bab=4 当且仅当a=b时“等号”成立. [关键能力综合提升] 7.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式关系正确的是() A.abalvs4lalicol(ffa+b2))2 B.ab≤a2+b22 C.1ab≥2a2+b2 D.labalvs4alcol(f2a+b))2 解析由基本不等式知A,C正确，由重要不等式知B正确，由a2十b22≥ab得，ab ≤avs4 alcol(ffa+b2)2, ∴.lab≥iavs4 alcol(f2a十b)2,故选ABC 答案ABC 8.(多选)2021山东日照高一期末)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立 的是() A.a2+b2≥8 B.1ab≥14 C.ab≥2 D.1a+Ib≤1 解析a2+b2≥(a十b)22=8,当且仅当a=b=2时取等号，A正确：a十b=4≥2ab, 即ab≤4，即1ab≥14，当且仅当a=b=2时取等号，B正确，C错误，1a十1b=a+bab= 4ab≥1，D错误. 答案AB 9.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨 垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表 示为y=12x2一300x十80000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨。 解析设每吨的平均处理成本为s元， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 由题意可得s=3x=12x=x2+80000一300，其中300≤x≤600 由基本不等式可得 x2+80000-300≥2x80000x-300=400-300=100. 当且仅当x2=8000,即x=400时，每吨的平均处理成本最低. 答案400 10.已知a,b,c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>ab+bc十ca 证明：a>0,>0,c>0, .a+b2≥ab,b+c2≥bc,c+a2≥ca, .a+b2+b