专题1-4 棱台相关解答题十大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-4棱台相关解答题十大题型汇总 题型1平行关系 1 题型2垂直关系 2 题型3长度面积高度问题 2 题型4距离体积问题 5 题型5线线、线面角问题 7 题型6二面角问题 10 题型7线面角与动点问题 12 题型8二面角与动点问题 14 题型9体积与动点问题 16 题型10最值取值范围问题 17 题型1平行关系 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱台的底面是菱形，且，平面，，，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【变式1-1】 （2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱台中，，， ，是的中点．证明：平面．    题型2垂直关系 【例题2】（2023秋·高二课时练习）在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面．    【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱台ABC­DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC. (1)设平面ACE∩平面DEF＝，求证：DF∥； (2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由． 题型3长度面积高度问题 【例题3】（2022秋·河南漯河·高二校考阶段练习）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，． （1）求证：DC⊥AA1； （2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，求AD的长． 【变式3-1】1. （2023·全国·高二假期作业）如图，在三棱台中，，，， 为线段中点，为线段上的点，平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求三棱台的表面积． 【变式3-1】2. （2022·上海·高二专题练习）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形（正四棱锥被平行于底面的平面截去一个小正四棱锥后剩下的多面体）玻璃容器Ⅱ的高均为，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线、的长分别为和．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒l，其长度为．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计） (1)求容器Ⅰ、容器Ⅱ的容积； (2)①将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度； ②将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度． 【变式3-1】3. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，．平面． （1）若点是的中点，求证：； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】4. （2020·全国·高三专题练习）如图所示，正四棱台的高是 ，两底面的边长分别是 和 . （1）求这个棱台的侧棱长和斜高. （2）求该棱台的侧面积与表面积. 题型4距离体积问题 【例题4】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）在四棱台中，底面是正方形，且侧棱底面分别是的中点. (1)求证：平面 平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式4-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱，BC上，平面，点M在棱上，． (1)证明：； (2)若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【变式4-1】2. （2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在三棱台中，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 【变式4-1】3. （2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，侧面与底面垂直，． (1)求证：平面平面； (2)已知四棱台的体积为．给出以下两个问题： ①求异面直线BC和的距离 ②求到平面的距离． 请从以上两个问题中选取一道进行求解． 注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分． 【变式4-1】4. （2022·全国·高三专题练习）已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，，且面，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为2. （1）证明：面； （2）求证：面，并求三棱锥的体积. 题型5线线、线面角问题 【例题5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面平面，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-1】1. （2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，. (1)求证：平面ABC； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式5-1】2. （2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱台中，，正四棱台的体积为28． (1)