专题1-3 棱锥相关解答题十大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-3棱锥相关解答题十大题型汇总 题型1平行关系 1 题型2垂直关系 3 题型3长度问题 6 题型4距离体积问题 8 题型5线线、线面角问题 10 题型6二面角问题 13 题型7线面角与动点问题 15 题型8二面角与动点问题 18 题型9体积与动点问题 20 题型10最值取值范围问题 23 题型1平行关系 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，、、的中点分别为、、，点在上，．求证：平面.    【变式1-1】1. （2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【变式1-1】2. （2023·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，. （1）求证：； （2）设、分别为、的中点，点为内一点，且满足，求证：平面. 【变式1-1】3. （2023·全国·高二专题练习）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，． (1)求证：； (2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值； (3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【变式1-1】4. （2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． (1)求证：∥； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．    【变式1-1】5.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点. (1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值； (2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.    题型2垂直关系 【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 【变式2-1】1. （2023秋·全国·高二随堂练习）如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ． (1)求证：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC． 【变式2-1】2. （2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 【变式2-1】3. （2023秋·全国·高二随堂练习）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝2，底面ABC于点D，，且DB＝1． (1)求证：平面PDB． (2)在棱PC上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】4. （2021·高二课时练习）如图，在三棱锥中，底面为等边三角形，，且平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）判断在线段上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求的值；若不存在，说明理由． 【变式2-1】5. （2023·全国·高二专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 题型3长度问题 【例题3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．    【变式3-1】1. （2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，． (1)证明：； (2)若，，在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求的长． 【变式3-1】2. （2022·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，沿将 折起至与平面BCDE成直二面角得到一四棱锥，为中点，过 作平面 ． 请画出平面截四棱锥的截面，写出作法，并求其周长； 【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且，． (1)证明：平面平面ABD； (2)若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值． 题型4距离体积问题 【例题4】（2023春·高二单元测试）如图，在三棱锥