2.2 双曲线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2 2.2.2 双曲线的简单几何性质 北师大版选择性必修一 复习 定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） 图象 方程 -=1 -=1 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a.b.c 的关系 c²=a²+b²（c＞a＞0，c＞b＞0） 双曲线的范围 一、双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质 1、范围 ∵≥1，即x²≥a² ∴x≥a，x≤-a 双曲线的对称性 一、双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质 2、对称性 关于x轴、y轴和坐标原点都对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心. 双曲线的顶点 一、双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.焦点在x轴上的双曲线的顶点是（-a，0）、（a，0） 双曲线的顶点 一、双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质 3、顶点 （2）如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长. 双曲线的顶点 一、双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质 3、顶点 （3）等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线方程为 双曲线的离心率 4.离心率 （1）定义：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率. （2）e的范围：因为c>a>0，所以双曲线的离心率e>1. （3）e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大. （4）等轴双曲线的离心率e=，即离心率e=是等轴双曲线 （5），在a，b，c，e四个参数中，知二可求二 双曲线的渐进线 ) o 双曲线=1（a＞0，b＞0）的两支向外延伸时，与两条直线±逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线为直线＝. 如图，双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交。 5.渐进线 双曲线的简单几何性质 o -a a b -b （1）范围:y≥a，y≤-a （2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称 （3）顶点:(0,-a)、(0,a) （4）渐近线:x （5）离心率: 二、双曲线=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质 一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点? 思考 提示:1个. 已知双曲线的方程求其几何性质 例1 求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标,离心率.渐近线方程. 解 把方程化为标准方程 ，虚半轴长b=3， 半焦距c=， 焦点坐标是(0,-5),(0,5)， 离心率， 渐近线方程为. 双曲线方程的常见设法 (1)渐近线为的双曲线方程可设为； (2)如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程可设为. (3)与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或． 双曲线方程的常见设法 (4)与双曲线离心率相等的双曲线系方程可设为或，这是因为离心率不能确定焦点位置． (5)与双曲线共焦点的双曲线方程可设为 双曲线方程的常见设法 (6)与椭圆共焦点的双曲线方程可设为 (7)焦点在x轴的双曲线方程可设为：; (9)不确定焦点在x轴还是在y轴的双曲线方程可设为： ; (8)焦点在y轴的双曲线方程可设为：; 利用几何性质求双曲线方程 例2 （1）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程为____________. （2）已知双曲线的一条渐近线的方程为，且经过点，则双曲线标准方程为____________． 利用几何性质求双曲线方程 例2 (3)与双曲线具有相同的渐近线，且过点 (4)过点(2，0)，与双曲线离心率相等； (5)与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为 双曲线的离心率 例3 设F1，F2是双曲线C：：的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________． 双曲线的渐近线 例4 (1)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为________． (2)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________． (3)已知双曲线C：的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为________． 补充： 等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线方程为 离心率为 补充：双曲线的通径 定义：过双曲线的焦点，做垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径.即 (无论焦点在x轴还是y轴) 补充： 双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长，即 此结论在解题时可直接使用 补充 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线. 如：与是一对共轭双曲