江苏省无锡市市北高级中学2023-2024学年高二上学期期初检测数学试题

无锡市市北高级中学2023-2024学年第一学期高二期初检测 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 若复数z满足，则（ ） A 1 B. 5 C. 7 D. 25 2. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ） A B. C. D. 4. 若，，是空间三个单位向量，，夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 在中，，为线段上的点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D 若复数，则 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 设向量，，若，共线，则 B. 已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是 C. 若，，则在方向上的投影向量的坐标为 D. 若平面向量，满足，则的最大值是5 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 该多面体的体积为 B. 该多面体外接球的表面积为 C. 该多面体的内切球的体积为 D. 该多面体的表面积为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案写在答题卡相应位置上） 13. 已知向量，，若，则______． 14. 已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________. 15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要45秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为______米/秒． 16. 已知直三棱柱 的 6 个顶点都在球的表面上， 若， 则球的体积为__________． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点. （1）求； （2）求的余弦值. 18. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，，，M是PD的中点． （1）求证：平面PAB； （2）求证：平面平面PAC； （3）当三棱锥的体积等于时，求PA的长． 20. 已知△的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 21. 杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计