2.1 必要条件与充分条件课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.1 必要条件与充分条件 授课人：徐广 新课导入 前面，我们学习了命题及其五种形式、相 互关系。 如何有效快速判断一个命题的真假？ ★设条件p,q,集合A={x|p(x)},B={x|q(x)} 1.充分条件与必要条件 （1）定义：当命题：“若p,则q” 即“p⇒q” 为真命题时，称p为q的充分条件，q为p的 必要条件。 例如，设条件p:小明是万年县人，q:小明是江西省人。 容易知： p⇒q，而q⇏p。 ★设条件p,q,集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}。 1.充分条件与必要条件 （2）判断方法：A⊆B⇔ p为q的充分条件，q为 p的必要条件。 ①通俗的说：要求越高，范围就越小，条件越充分；要求越低，范围就越大，条件越必要。 ② 若p⇒q成立,则p是q的充分条件，所谓的“充分”，即使得q成立，有p成立就够； q是p 的必要条件，即q是p成立的必不可少的条件，即我们常说的必备特征。 1.充分条件与必要条件 判断命题真假的方法：设命题r：若p，则q。即r:p⇒q。如果p是q的充分条件，那么命题r是真命题，否则命题r是假命题。 例如，设命题M：若两三角形全等，则它们的面积相等。 容易知：命题M是真命题。 1.充分条件与必要条件 设命题N：若，则。 命题N是假命题(处理方法——举反例） （3）传递性：若p⇒ q,q⇒ r，则p⇒ r。 例1 设条件p:x>2 ，条件q:x>1,试判断条件p与q 的关系。 解：∵ x>2⟹ x>1∴ （但） 即p为q的充分条件，q为p的必要条件。 1.充分条件与必要条件 例 2 设条件r:∆ABC≌∆，条件s:∆ABC∽∆,试判断条件r与s的关系。 解：根据三角形全等与三角形相似的关系，可 知：r⇒s ∴ 条件r是s的充分条件，s是r的必要条件。 注意：这只是单向判断。 ▶实际应用（一） （1）充分条件的应用——判定定理 ①若a>0,b>0,则ab>0。 ②同位角相等，两直线平行。 ③若集合B⊆A,则 A∩B=B。 ▶实际应用（一） （2）必要条件的应用——性质定理 ①正方形的四边相等。 ② 两直线平行，内错角相等 。 ③若集合A ⊊B ，则A⊆B。 ★设条件p,q,集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}。 2.充分不必要条件与必要不充分条件 （1）定义：当命题：“p⇒q，但q⇏p”为真命 题时，称p为q的充分不必要条件，q为p的必要 不充分条件。 例如，设p:x∈Z，q:x∈R。p⇒q但q⇏p。 ★设条件p,q,集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}。 2.充分不必要条件与必要不充分条件 （2）判断方法：A ⊊B⇔ p为q的充分不必要条件， q为p的必要不充分条件。 例如，p:∆ABC是等边三角形，q:∆ABC是等腰三角 形。 显然有：(这种记法少用） 2.充分不必要条件与必要不充分条件 （3）传递性： 例如，设 为平行四边形。 ▶实际应用（二） （1）充分不必要条件的应用——判定 ①。 ②4是偶数。 ③有一个内角为的三角形是钝角三角形 。 ▶实际应用（二） （2）必要不充分条件的应用——性质 ①。 ② 矩形有一内角为直角。 2.充分不必要条件与必要不充分条件 例 3 设条件p:x=0，q:xy=0，试判断条件p与q的相互关系。 解：由题意，得： ∴ 2.充分不必要条件与必要不充分条件 例 4 设条件,试判断条件 解：由题意，知：= ∴ 注意：以后判定条件关系时，一定要准确到位。 2.充分不必要条件与必要不充分条件 例 5 设 解：由 ∵ ]⊊ ∴ ，（此处，等号不会同时成立） 即 . 故有 。 ★设条件p,q,集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}。 3.充要条件 （1）定义：当命题：“⇒，且⇒”即“⇔”为真命题时，称与 互为充分且 必要条件，简称充要条件，也称等价条件，记为⇔。 例如，由=0 ⇔x=y=0 ★设条件p,q,集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}。