2.4圆与圆的位置关系（第二课时）导学案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

高二年级数学 学科导学案 主备 班级 小组 学生姓名 课题：圆与圆的位置关系（第2课时） 【学习目标】1、学会两圆相交时公共弦所在直线方程 2、掌握圆与圆位置关系的相关题型 【重点难点】1、公共弦所在直线方程及公共弦长求法2、圆的相关 最值问题 【学习流程】 ©基础感知 回顾圆与圆位置关系的判断方法 ©探究未知 问题1：两圆相交时有几个公共点？ 问题2：公共点所在直线方程如何求？ ©展示提升 探究一、两圆的公共弦问趣 【例1】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0 (1)判断两圆的位置关系： (2)求公共弦所在的直线方程： (3)求公共弦的长度。 解()将两圆方程配方化为标准方程，则 C1:x-12+0y+52=50, C2:x+12+y+12=10, ∴.圆C1的圆心坐标为(1，-5)，半径为n=52, 圆C2的圆心坐标为(-1，一1)，半径为2=10 又.1C1C21=25,n+2=52+10, 高二数学B组导学案 本学案共页，第页。 h一2=52-101， ∴.h-nCC21+n, ∴两圆相交， (②)将两圆方程相减， 得公共弦所在的直线方程为x-2y十4=0. (3)方法一由(2)知圆C1的圆心(1，-5)到直线x-2y+4=0的距离为d=|1-2×-5+4 |\r(1+-22)=35, ∴.公共弦长为1=221)-d2=250-45=25 方法二设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组 X-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,) 解得x=一4，y=0)或x=0,y=2,) .4B=-4-02+0-22=25 即公共弦长为25 归纳总结：()当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1:x2十y2+Dx十Ey+F1=0与圆C:x2+y2+Dx十E2y十F2=0相交，则两圆公共弦所 在的直线方程为(D,一D2x十(E1一E)y十F一F2=0 (②)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长 ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求解。 (易错题)1、过两圆C1:x2+2-2x-2y+1=0,C2:x2+y2-4x-21 =0的交点所在的直线的方程为() A.x-y+11=0B.x-y-11=0 高二数学B组导学案 本学案共页，第页。 C.x+y+11=0 D.不存在 解析：由题意得C1(1,1),R1=1,C2(2,0),R2=5 C1C=V2<R2-R1, 两圆内含 ,过两圆交点的直线不存在.故选D. 探究二圆系方程及应用 【例2】求圆心在直线x-y-4=0上，且过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点 的圆的方程。 解方法一设经过两圆交点的圆系方程为 x2+y2-4r-6+ax2+y2-4y-6=0(1≠-1). 即x2+y2-41+x-4λ1+入y-6=0, 所以圆心坐标为(21十入，2入1十入). 又圆心在直线x一y-4=0上，所以21+X一2X1十入一4=0， 即1=-13 所以所求圆的方程为x2+y2-6c十2y一6=0 方法二由x2+y2-4x-6=0,x2+y2-4y-6=0,) 得两圆公共弦所在直线的方程为y=x, 由y=x,x2+y2-4y-6=0,)解得x1=-1,y1=-1,)x2=3,y2=3.) 所以两圆x2+y2-4r-6=0和x2十2-4y-6=0的交点坐标分别为A(-1,一1)，B(3,3), 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y一1=一(c一I). 由y-1=-x-1,x-y-4=0,)得x=3,y=-1,) 即所求圆的圆心为(3，一1)， 半径为3-32+[3--1]2=4 所以所求圆的方程为c一3)2+y+1)=16 高二数学B组导学案 本学案共页，第页。 归纳总结：当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2+y2+D1x十Ey+F)十x2+y2+Dx+E2y 十F2)=0,然后用待定系数法求出即可. 【巩固训练】2、求过两圆C1:x2+y2-4+2y+1=0与C2:x2+y2-6=0的交点且过点(2， 一2)的圆的方程. 解设过两圆C1:x2十y2-4十2y十1=0与C:x2+y2-6x=0的交点的圆系方程为x2+y2-4x +2y+1+c2+y2-6)=0, 即1+2+(1+y2-(4+60x+2y+1=0 把(2，一-2)代入，得41+)+41+)-2(4+6)-4+1=0，解得元=-34 .圆的方程为x2+y2+2x+8y+4=0. 探究三斜率型最值问趣 已：意号+护=正，球的最天值对最小值5 【例3】 。。001—.八A,。 可视兰为点（化，）与原点连线的斜率，兰的最大值和最小值就是与该 圆有