第二章 等式与不等式（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式（压轴题专练） 一、填空题 1. 关于的不等式的整数解恰有个，则实数的取值范围是          ． 2. 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为单位：升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则的取值范围为          ． 3. 关于的不等式的解集为空集，则的取值范围是          ． 4. 已知，，若，则的取值范围是          ． 5. 已知，则的最大值是          ． 6. 已知，为正实数，则的最小值为________． 7. 若，，，，则的最小值为______． 8. 关于的不等式的解集为，则          ． 9. 已知正实数，满足则的最小值是          ． 10．若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 11．若实数，满足，则的最小值为 ． 12．设，若，则的取值范围为 ． 二、单选题 13. 已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 14. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最小值为(    ) A. B. C. D. 15. 已知，，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是．(    ) A. B. C. D. 16. 不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 17．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（    ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 18．设，则取得最小值时，的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 19．定义在正整数集上的函数，其最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 20. 《见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在怎样解题中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时有最小值，最小值是多少？ 解：，，即，， 当且仅当，即时， 有最小值，最小值为． 请根据阅读材料解答下列问题 已知如，求下列各式的值： ___________． ___________． 若，解方程． 若正数满足，求的最小值． 21. 已知，，均为正数，求证：； 已知正数，满足，若恒成立，求实数的取值范围． 22.已知，，是正实数． 若对任意的正实数，，恒成立，求实数的取值范围； 记，若对任意的正实数，恒成立，求实数的取值范围． 23. 符号表示不大于的最大整数，例如：． 已知，分别求两方程的解集； 设方程的解集为，集合，若，求的取值范围． 在的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 24. 已知关于的不等式． 若不等式的解集为，求实数的值； 若，求不等式的解集． 25. 设集合，，求：，； 已知、、都是正数，且满足，求证：． 26. 设，是不全为零的实数，试比较与的大小． 已知，，求证： 27. 求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件； 求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根反证法证明； 求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且． 28. 已知两个关于的一元二次方程和，求两方程的根都是整数的充要条件． 29.已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置质量为克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处． 若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值． 水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低为什么 30. 已知关于的方程，求： 方程有两个不同正根的充要条件； 方程至少有一正根的充要条件． 31. 已知不等式的解集为． Ⅰ求的值； Ⅱ若，解关于的不等式． 32. 本小题分 已知集合． 证明：若，则是偶数