专题04 不等式的求解培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

命学科网 字种网需创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题04不等式的求解培优题型 数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式与不等式则是表 示相应数量关系的基本工具：等式与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛的应用： 沪教版2020高中数学必修第一册主要通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻 辑的语言，求解和证明一些基本的不等式：在学习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握 等价变形的方法，并特别注意正确依据不等式性质求解常见的不等式：所谓常见的不等式在这里主要是指： 一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式、高次不等式、含绝对值不等式等，高考中 除了专门考查不等式外：更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查：所以，依据不等式的求解 这一基础地位，具体解题时要求务必做到求解快捷、准确： 《必修第一册》目录，第2章等式与不等式；22不等式的求解： 22.1一元一次不等式及一元一次不等式组的求解：22.2一元二次不等式的求解；22.3分式不等式的求解： 2.2.4含绝对值不等式的求解； 知识梳理 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式： 般记作：a2+bx+c>0(a>0)或ar2+bx十c0(a>0) 2、三个“二次”间的关系 二次函数y=r2+bx+c(a0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式x2+br+c>0(a>0)的解的对 应关系： 判别式4=b2-4ac 4>0 4=0 4<0 二次函数y=ax2+bx十c(a>0)的图象 OF写 有两相异实根 有两相等实根 一元二次方程ar2+bx十c=0(a>0)的根 没有实数根 ,x2<x) 1=2=-b2a am2+bx+c>0(a>0)的解集 a2+bx十c<0(a>0)的解集 3、常见不等式的代数解法 (1)一元二次不等式：2+bx+c>0(a≠0) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网 学种网需创，让学司更容易！ o JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 可考虑将左边视为一个二次函数二次函数y=ax2十bx十ca>0),作出图象，再找出x轴上方的部分即可 关键点：图象与x轴的交点： (c一a)r一b)>0或x-a)x一b)0型不等式的解集 解集 不等式 a b a=b a-b x-a)c-b)>0 (c-a)x-b)0 (2)分式不等式 ①将分母含有x的表达式称为分式，即为fxgx的形式 ②分式若成立，则必须满足分母不为零，即g(x≠0 ③对形如fxgx→0的不等式，可根据符号特征得到只需f(x),g(x)同号即可，所以将分式不 等式转化为fx·gx>0gx≠0)（化商为积），进而转化为整式不等式求解 例如：分式不等式与整式不等式的等价转化； ①fxgx>0(<0)=xg(x)>0(0):②fxgx≥0（≤0）-fx·gx≥0 ≤08x≠0). (3)高次不等式 可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x的表达式为fx),不等式为f(x)>0) ①求出f(x)=0的根x,x2, ②在数轴上依次标出根 ③从数轴的右上方开始，从右向左画如同穿针引线穿过每一个根 ④观察图象，∫(x)>0→寻找x轴上方的部分 f(x<0→寻找x轴下方的部分 【注意】高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零附提否符合 不等式： (4)含有绝对值的不等式 ①绝对值的属性：非负性 ②式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）：二是 通过平方 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网 学种网票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ③若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ①/(x>g(x)的解集与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x的解集相同 ②f(x<g(x)的解集与-g(x<f(x)<gx)的解集相同 ④对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值， 将其转化为整式不等式，再做处理 4、常用结论 (1)绝对值不等式xPa(a>0)的解集为（一o,一a)U(a,十ao):f<a(a>0)的解集为（一a,a) 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间： (2)解不等式2+b加十c>0(0)时不要忘记当a=0时的情形： (3)不等式x2+bx十c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定： ①不等式ar2+bx十c>0对任意实数x恒成立台a=b=0,c>0)或a>0,<0.) ②不等式ar2+