奥数：第二章 4.2 重叠问题（讲义）-四年级上册数学人教版

4.2 重叠问题 趣味导入：有两对父子上山打猎，每人各打了一只兔子，可是到家后把兔子放在一起数一数发现：总共只有三只兔子。这是怎么回事呢?原来，两对父子只有爷爷、爸爸、儿子三个人，两对父子中重复了一人，那就是爸爸。所以打到的兔子只有三只。在数学中，像这样重复的问题，我们称之为“重叠问题”。 在我们的日常生活中，还有很多这样有趣的重复现象：如两个妈妈和两个女儿一起去游乐园玩，可他们却只买了3张门票；两个人分别买了两种水果，回家后发现实际上只有3种水果。 通过上面的例子我们发现，在解决此类有重叠的数量时，为了不重复地计数，我们应该从他们的总和中去掉重叠部分。如果在买水果这题中，两人分别买了2种水果，那么总共就应该有2+2=4种水果，但由于重复了一种，所以实际上买的水果就应该将重复的一种水果减去，即买水果的种数就应该为2+2-1=3种。 典型例题 例题1：四年级的一群小朋友在课间排成一排做游戏，小徐也在其中，小徐发现从前往后数他排在第5个，从后往前数他排在第9个。做游戏的小朋友一共有多少个? 分析：由题意可画出示意图 通过观察示意图我们可以发现：在从前往后数的5个人中包括了小徐，在从后往前数的9个人中也包括了小徐，在算总人数，前面5人与后面9人总共5+9=14人中，小徐计算了两次，故我们应将多算的一次排除。即：做游戏的小朋友一共有： 答： 总结：在解答重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，往往我们还需要画出示意图，借助图形进行分析思考，找出重复的部分，明确求出的是哪一部分，从而找出解决问题的方法。如上题求的是总人数，为了不重复计数，就应该从总和中减去重复部分。 我们可以总结为：在重叠问题中，在计算重叠后的总数时有一个最基本的关系，即：重叠后的总数=两部分之和-重叠部分，也叫作重叠原理。 练习 1、道路一旁摆了一排花盆，其中有一盆花，从前往后数，这盆花排在第24个，从后往前数，这盆花排在第18个。这一排花总共有多少盆? 2、一家玩具店的货架上摆了一排小熊玩具，其中有一只黑色的小狗。从前往后数，小狗在第7个，从后往前数，小狗也在第7个。这排货架上总共有多少只小熊？ 3、学校运动会同学们进行列队比赛，每行的人数同样多，小刘的位置从左起是第2个，右起是第5个；从前往后数是第6个，从后往前数是第4个。参加队列比赛的共多少同学? 例题2：把两段同样长的木板钉在一起，形成一块更长的木板。这段更长木板长180厘米，中间重叠的部分是20厘米。原来木板长多少厘米?。 分析：由题意可画出示意图： 通过观察示意图我们发现，题目中给出了重叠后两块木板的长度为180厘米，同时也告诉了重叠部分的长度为20厘米，要求原来木板的长度，根据“重叠后的总数= ”我们可以得“两块木板之和= ”，所以： 两块木板的总长为： 原木板的长度为： 答： 总结：此题为重叠原理的一个逆运用，即知道重叠后的长度，以及重叠部分的长度，求原木板的长度。我们只要弄清重叠原理的基本关系，合理的画出示意图，明确需要求出的是哪一部分，解决问题即可。 练习: 1、把两根同样长的纸条粘在一起共长80厘米，其中重叠的部分长10厘米。 原来两根纸条长多少厘米? 2、有块同样长的条幅缝在一起变成一条长22米的长一点的条幅，其中中间重叠的部分长2米。原来两块条幅各长多少米? 例题3：把两根不一样长的竹竿绑成一根长为288厘米的长竹竿，中间重叠部分的长是34厘米，其中一根长114厘米。请问另一根长多少厘米? 分析：由题意可画出示意图 对比上一题，此题的不同之处在于，题目中给出的两根竹竿的长度不一样，此题同样告诉了重叠之后的长度为288厘米，中间重叠部分的长度为34厘米，我们可以求出原来两根竹竿的长度之和： 。又知道其中一根的长度为114厘米，那么另一根的长度用总长减去第一根的长度即可，即: 答： 总结：此题其实就是上一题的一个变形题，即原来两个物体的长度不一样，但在解题时方法不变，只是在求出原来的总量时，减去另一个即可。 练习 1、有两块不一样长度的纸板钉在一起，变成一个长为84厘米的长纸板，其中一块纸板长41厘米，中间重叠部分长6厘米。另一块纸板长多少厘米? 2、一根长100厘米的木棍不小心折成了长短不一的两段，现在把两段重新绑在一起，其中重叠的部分长8厘米。两段木棍绑在一起后长多少厘米? 知识导入：韦恩图 在我们的日常生活中，除了物体与物体之间有重叠，如前几个例题中的木板重叠、竹竿的重叠之外，往往我们还会遇到一些具体数量的重叠，画图时就会显得比较麻烦，不利于观察。 例