奥数：第二章 3.4盈亏问题（讲义）-四年级上册数学人教版

3.4盈亏问题 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况。分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，若每人少分，则物品就有余(也就是盈)，若每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫作“盈亏问题”。 重点 (盈+亏)÷分配差=人数或单位数 (盈-盈)÷分配差=人数或单位数 (亏-亏)÷分配差=人数或单位数 难点：①理解“盈”与“亏”的概念，并理顺其数量关系； ②理解“盈与亏”两次分配总差和“分配差”之间的数量关系。 解决方案：对于①的理解：我们班39个人，而且上课非常认真，于是老师打算奖励学生，就买了100瓶爽歪歪，给每人2瓶，结果发了78瓶，我自己还剩下22瓶；这种分配后我有多的，我就有盈余(分配有剩余就是盈)，这个时候有人说，老师太瘦，喝不了那么多的水，鼓励一人再发一瓶，我一算，每人3瓶，结果需要发117瓶，而我只有100瓶，那么我就需要再买17瓶，这样的话老师就亏大了(分配不够就是亏)。 对于②的理解：通过“线段图”的方式去理解。 基本特点：两个未知：总份数，总数 两个一定：总份数不变，总数不变。 基本思路：比较法：(1)总份数=总差÷每份差； (2)再代入到任一条件求总数。 导入：(1)有两个人数各为5人的小组，老师在分发礼物的时候，给第一组每人分2个，给第二组每人分3个。第二组每人比第一组每人多几个?第二组总共比第一组多几个? 分析：①第二组每人比第一组多: 。②因为第二组每人比第一组每人多1个，而每组都是5人，所以一共就多: 。 结论：每人多的个数×人数=总共多的个数。或者：分配差×人数=两次总差。 (2)有两组人数相同的小组，老师在分发礼物的时候给第一组每人分3个，给第二组每人分5个，且第二组总共比第一组多20个，则第二组每人比第一组每人多几个?每组各有多少人 分析：①第一组每人比第一组多: 。②因为第二组比第一组总共多20个，由导入得出，已知每人多的个数和总共多的个数，求人数，应该是：总共多的个数÷每人多的个数=人数；两次总差÷分配差=人数。则人数: 。 一、一盈一号 表示一种分配时，会有盈余；另一种分配时，会出现不够的情况。 例题1：四年级一班少先队员参加学校搬砖劳动。若每人搬4块砖，则还剩7块；若每人搬7块，则少2块砖。这个班少先队有几个人?要搬的砖共有多少块？ 分析；比较两种撒砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块；每人7块，就少2块。这两次搬砖，每人相差: 。第一种余7块，则将7块拿走，就刚好每人4块；第二种少2块，则补2块，每人刚好7块。那么第二次比第一次总共相差砖数: ，每人相差3块，结果总数就相差9块，所以有少先队员: ，共有砖: 。 每人相差: 第二次比第一次总共多: 人数: 砖总数: 答：这个班少先队有3个人，要搬的砖共有19块。 总结：对于盈亏问题的关键是：找出两次的分配差与两次分配的总差，对于前者，题目往往会直接告诉我们，而对于后者，画出线段图是关键，而对于一盈一亏型的盈亏问题：人数或单位数=(盈+亏)÷分配差 练习 1、小姚过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就少了4元。那么有多少个同学去买蛋糕?这个蛋糕的价钱是多少 2、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则少2个桃，那么一共有多少只小猴子?老猴子一共有多少个桃子 3、奥校有一批练习本发给学生，若每人5本，则多70本；若每人7本，则少10本。那么这个班有多少学生?多少练习本呢? 二、双盈 两种分配方式，都会使得分配有盈余，只不过一种会盈余较多(大盈)，一种盈余较少(小盈)。 例题2：新世纪奥校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本还多2本，每人发8本，还多14本，请问有多少老师?多少本书? 分析；找出两种方式总共的差和两种方式每人的差。由题目中很明显，我们知道每人的分配差了： ；而两种情况，总共差了多少，我们可以画出线段图来理解 第一种情况，多了14本，减少14本，则每人刚好8本 第二种情况，多了2本，减少2本，则每人刚好10本。 则我们可以得到：两种情况，总共差了： 老师人数： 书的总数: 答： 总结：对于双盈的盈亏问题：人数或单位数=(大盈一小盈)÷分配差。 特殊地，若是出现刚好分配，不多也不少时，我们可以理解为盈的为0，或者亏的为0。(当然有些地方也叫作“足”) 练习 1、有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6