奥数：第二章 2.2 植树问题（讲义）-四年级上册数学人教版

2.2植树问题 在我们生活中，经常会遇到这样的场景：在公园里的走廊上，会每隔一定距离就挂有五彩缤纷的灯笼；在学校的花园里，每隔一定距离摆放一盆花；在公路旁，每隔一定距离就有一棵大树等等。那么关于这一类问题，我们统称为植树问题。今天我们将学习植树问题中的一些典型问题：一种是直线形的植树问题，一种是环形的植树问题。 基础过关 名词认识。 在我们植树问题里面，有一些特有的名词，需要大家认识。 总长度：总长度指的是从开头到结尾的长度 间隔长：指的是相邻等距离的两棵树之间的距离(每个间隔的长度)； 间隔数(段数)：指的是将总长度平均分为每段间隔长的距离后，共有多少个这样的长度。 植树问题，就是指在一段固定长度的路上，按一定间隔种树的问题，或者说是考虑端点的记数问题。 思维引入 导入：新世纪奥校为了美化校园环境，要在一段200米的长度的走廊上，按照每隔10米放一盆花。请你设计一下，共有多少种不同的设计思路? 第一种：在走廊的两端都放； 第二种：只在走廊的一端放 第三种：走廊的两端都不放。 植树问题的知识要点： 当两个端点都种树时，树的总数=公路长度÷树的间隔+1 当只有一个端点种树时，树的总数=公路长度÷树的间隔 当两个端点都不种树时，树的总数=公路长度÷树的间隔-1 当在环形公路上种树时，树的总数=公路长度÷树的间隔 面对具体问题时，一定要判断是哪种情况，再加以计算。 典型例题 例题1：一段公路长1000米，在公路两旁每隔5米栽一棵梧桐树，两端都栽。共栽梧桐树多少棵? 分析：本题考查植树问题的基本类型。题中要求两端都种的棵数，则应该用间隔数加上1就是植树的棵数，若要求间隔数，即用总长度除以间隔长(每个间隔的长度)即可。 1000÷5+1 =200+1 =201(棵) 答：共栽梧桐树201棵 总结：在基本的植树问题中，(1)读题时，看清楚题中的关键词(两端种；一端种；两端都不种；还是环形的植树)，同学们在做题的时候，可以适当地用笔进行标注；(2)将几种基本情况弄清楚，具体可以参看上面的植树问题的知识点。 练习： 1、一个水池的周长是1200米，沿水池周围每隔10米栽一棵柳树。需要种多少棵柳树? 2、在一块边长为40米的正方形地的周围种树，每隔4米种一棵。一共要种多少棵树?(每个顶点都要种树) 3、新希望小学课间操时，四(1)班的同学们成三路纵队展开，相邻两人相距3米。如果最前面的1排和最后1排相距54米，那么四(1)班有多少人? 在两数之间增加树木 解题关键是将其转化为基本的植树问题。 例题2：两棵树相隔115米，在中间以相等的间隔距离增加22棵树后，第16棵与第1棵相隔多少米? 分析：此题考查植树问题中，在间隔中增加树木的情况，遇到这样的题目，可以先画出示意图来理解一下。 根据示意图：我们知道，此题相当于在115米长的路上，两端都栽树，栽了22+2=24棵树，问第1棵树到第16棵树之间的距离? 所以要求距离，只需要知道每段的长度(间隔长)，再用间隔长乘16-1=15个间隔即可。 每个间隔的长度:115÷(22+2-1)=5(米) 第1棵树到第16棵树:5×(16-1)=75(米) 答：第16棵与第1棵相隔75米。 总结：解决这类题的关键在于，能够通过线段图的分析，将题目变成一个基本的植树问题，自然就迎刃而解。 练习: 1、在一条长125米的大路两边各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。 2、一个木工锯一根19米长的木料，他先把一头损坏的部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米? 3、在两棵松树之间以相等的距离摆放了14盆花，已知第一棵松树与第五盆花相隔10米，那么两棵松树相隔多远? 在间隔上再栽树 关键点：将题中的关系分类整理。 例题3：一个池塘的周长是270米，沿池边每隔9米栽一棵柳树然后在每相邻的两棵柳树之间等距离地栽两棵杨树。池边各栽了多少棵柳树和杨树?两棵相邻的柳树之间的两棵杨树相距多少米? 分析：题目知道总长度，又知道每隔9米栽一棵柳树(间隔长已知)，则可以求出柳树的棵数为:270÷9=30(棵)(环形栽树，相当于一端栽，一端不栽的情况)。 现在题中要求在两棵柳树之间等距离栽两棵杨树，则说明在每一个间隔上有两棵杨树，根据我们前面所求可知，池塘共有30段，每一段上有2棵杨树，则共有30×2=60棵杨树。 第2问中求两棵柳树间的两棵杨树的距离，实际上就相当于在9米长的路上两端都不栽的情况下，栽了两棵杨树。由此可得间隔长(两棵杨树之间的距离)：9÷(2+1)=3米。 解答：柳树:270÷9=30(棵) 杨树:30×2=60(棵) 两棵杨树之间的距离:9÷(2+1)=3(米) 答：池边栽柳树30棵和杨树60棵。两棵相邻的柳树之间的两棵杨树相距3米。