2024届高考数学一轮复习专项练：基本不等式

基本不等式 一、单选题 1．若，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知，则m，n不可能满足的关系是（    ） A． B． C． D． 3．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆相切，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知a是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 10．已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C． D． 11．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．若，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．没有最小值 二、多选题 13．设，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 14．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值 15．设，且不等式恒成立，则实数可取（        ） A． B． C． D． 16．已知，且，则下列结论中正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值4 三、填空题 17．若实数x，y满足，且，则的最小值是 . 18．已知，且，则的最小值为 . 19．已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为 ． 20．设且，则的最小值为 ． 21．已知，，是正实数，且，则最小值为 . 四、解答题 22．设函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)已知不等式的解集为，，，，求的最小值. 23．设a，b为正数，且．证明： (1)： (2)． 24．已知a，b，c都是正数. (1)证明：； (2)若，证明：. 25．设函数． (1)求不等式的解集． (2)若的最大值为，证明：． 参考答案： 1．C ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 2．C ，即，即. 对于 A， 成立. 对于 B， ，成立. 对于 C， ，即.故C错误； 对于 D， 成立. 故选：C. 3．D 由等差数列的前项和公式，可得，可得， 又由且， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 4．B 由于直线与圆相切， 故圆心到直线l的距离为，即， 故，当且仅当时取等号， 5．D ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 6．A 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．B 因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 8．A 由可得，所以， 因为，， 则， 当且仅当 即时等号成立，所以的最小值为， 9．C 由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 10．C 由已知，令，， 所以，，代入得：， 因为，， 所以 . 当且仅当时，即时等号成立. 的最小值为. 11．B 依题意，． 又， 而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 12．A 由，得. 因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得, 设函数， 则由，得在上至少一个零点， 此时，故存在，使得不等式中的等号成立， 故的最小值为. 13．BCD AB选项，易知，， 因为，所以，A错误，B正确； CD选项，因为，，所以，D正确， 故，C正确. 14．AB 对A,,当且仅当时取等号.故A正确. 对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确. 对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误. 对D, ,即,故有最小值. 15．ABC 因为，不等式恒成立， 所以，不等式恒成立， 令， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为-4， 所以， 所以实数可取，， 16．BD 对于A选项，因为，且，所以由可得， 当且仅当时等号成立，.故A错误； 对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C选项，因为 所以，当且仅当即时等号成立，故C错误 对于D选项，因为， 令，解得或（舍）， 令，解得，令，解得， 故，此时，故D正确 17．4 解：，满足，且， 则，当且仅当且，即，时取等号， 此时的最小值4． 故