2024届高考数学一轮复习专项练：基本不等式

基本不等式 一、单选题 1．已知，，，则的最大值为（ ） A．0 B． C． D．1 2．下列函数中，最小值为2的是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则的最小值为（　　） A．7 B． C．7＋4 D．4 5． 已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 8．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．已知a，b为正实数且ab=1，若不等式对任意正实数x，y恒成立，则实数M的取值范围是 A．[4，＋∞) B．(－∞，1] C．(－∞，4] D．(－∞，4) 二、多选题 10．已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 11．设正实数、满足，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 12．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 13．已知实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为16 B．的最大值为9 C．的最大值为9 D．的最大值为 三、填空题 14．若，，且，则的最小值是 ． 15．已知，若依次成等比数列，则的最小值为 ． 16．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2． 17．已知，则的最大值是 18．已知，则的最大值为 . 四、解答题 19．（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 20．已知为锐角，利用直角三角形三边的关系，证明：． 21．已知均为正实数，求证: . 参考答案： 1．A ∵，，， ∴，当且仅当a＝b＝1时，取等号. 2．C 当时，，故A错误； ，当且仅当， 时取等号，又，故B错误； ，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确； 当时，sin x∈（0，1），， 当且仅当，即sin x＝1时取等号， 因为sin x∈（0，1），故D错误． 3．C 对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 4．B 因为向量， 若，可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 5 C 解：因为，所以 因为 所以， 当且仅当即时，取等号， 故的最小值为6， 6．D 因为，，， 所以，当且仅当，即，时取等号． 由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即． 7．C 由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当，即时，取得等号， 则，解得. 8．B 由题设，即，又为正项等比数列， 所以，， 由，则，即， 所以， 则， 当且仅当时等号成立，满足， 所以的最小值为2. 9．D ，取等号时； ，取等号时；所以最小值为，取最小值时，则. 10．BCD 由 ，且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为不等式恒成立，所以， 结合选项，可得选项B、C、D符合题意. 11．ACD 设正实数、满足. 对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立，B选项错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C选项正确； 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 12．ABD 对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 13．AD 解：因为，则，； 则，即，当且仅当时，即时等号成立，故A项正确，C项错误； 因为，，则，，当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为9，故B项错误； 因为，，，当且仅当时，即时等号成立，故D项正确. 14． 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 15． 由题意得： 又， 当且仅当