2024届湖南师范大学附属中学高三月考试卷（一）数学试题

大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（一） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则中整数个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知母线长为5圆锥的侧面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于 . A. 第一象限. B. 第二象限. C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，，，，且四边形ABCD平行四边形，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，若，，则有（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列 6. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ） A. 4.1小时 B. 4.2小时 C. 4.3小时 D. 4.4小时 7. 已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 若正三棱锥满足，则其体积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设正方体中，，，的中点分别为，，，则（ ） A. B. 平面与正方体各面夹角相等 C. 四点共面 D. 四面体，体积相等 11. 已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小正周期为4 D. 在上的零点个数最少为1012个 12. 已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，，，的横坐标分别为，，.则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则______. 14. 圆关于直线对称，则值为______. 15. 如图，正四棱锥的每个顶点都在球M的球面上，侧面是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为___________. 16. 已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，，且对于任意的正整数均有.（1）若，则______；（2）若，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 梯形中，，，，． （1）求的值； （2）若的面积为4，求的长． 18. 已知数列满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点. （1）若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由； （2）线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由. 20. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 21. 已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的动直线l与C相交于A