江西省抚州市黎川县第二中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

23-24上开学考试 高三数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上: 2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将答题卡交回。 一、单选题(每题5分,共40分) 1.已知全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2.在等差数列中,首项为,公差为,则( ) A.2 B.0 C. D. 3.下列求导数运算中正确的是( ) A. B. C. D. 4.已知,则( ) A. B. C. D. 5.袋中装有标号为且大小相同的个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和不是的倍数,则获奖,若有人参与摸球,则恰好人获奖的概率是( ) A. B. C. D. 6.在正方体中,是棱上一点,是棱上一点,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线C:的右焦点F的坐标为,点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,若,,则双曲线C的离心率为( ) A. B.2 C. D.3 8.若函数,,则函数在上平均变化率的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题(每题5分,共20分) 9.下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 10.已知正项等比数列的前n项积为,且,则下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 11.已知数列满足,且对任意的正整数,都有,则下列说法正确的有( ) A. B.数列是等差数列 C. D.当为奇数时, 12.已知函数及其导函数满足,且,则下列说法正确的是( ) A.在上有极小值 B.的最小值为 C.在上单调递增 D.的最小值为 三、填空题(共20分) 13.的单调递减区间是 . 14.在数列中,已知,则该数列前2023项的和 . 15.已知抛物线C:的焦点F到其准线的距离为2,圆M;,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则的最小值为 . 16.已知,则当取得最大值时, . 四、解答题(共70分) 17.设直线的方程为. (1)已知直线在x轴上的截距为,求的值; (2)已知直线的斜率为1,求的值. 18.为了提高居民参与健身的积极性,某社区组织居民进行乒乓球比赛,每场比赛采取五局三胜制,先胜3局者为获胜方,同时该场比赛结束,每局比赛没有平局.在一场比赛中,甲每局获胜的概率均为p,且前4局甲和对方各胜2局的概率为. (1)求p的值; (2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X,求X的分布列与期望. 19.在正四棱锥中,已知,,,. (1)证明:平面; (2)求二面角的大小. 20.椭圆的左顶点为,右顶点为,满足,且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知点在椭圆的内部,直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点,若的面积为,求的值. 21.已知数列的前项和为且;等差数列前项和为满足. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和; (3)设,若,对任意的正整数都有恒成立,求的最大值. 22.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当时,,求实数a的取值范围. 答案 1.A 解:或, 所以 所以, 故选:A 2.D 由等差数列中,首项为,公差为, 则. 故选:D. 3.D 对A,,故A错误; 对B,,故B错误; 对C,,故C错误; 对D,,故D正确; 故选:D. 4.D , 则. 故选:D 5.D 从袋子中一次性摸出两个球,共有种情况, 其中两个号码的和为的倍数的有,,,,,共种情况, 一个人摸球,能够获奖的概率为, 人参与摸球,恰好人获奖的概率. 故选:D. 6.A 不妨设, 以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 则, 所以, 所以, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选:A 7.B 由题意知点P在第一象限且在双曲线C:的一条渐近线上, 设渐近线的倾斜角为,则,即, 结合,可得, 结合题意可知,故, 又,, 在中利用余弦定理得, 即, 即,即, 故,解得或(舍去), 故选:B 8.B 当,时, 在上平均变化率为, 令,, 可看做图象上任一点与点连线的斜率, 即, 当点从点运动到点,斜率逐渐减小,点重合时, 表示函数在点处的切线的斜率, , 所以, 当点位于点时,点连线的斜率最大, , 故. 故选:B 9.CD A:因为,所以本选项不正确; B:当时,,所以本选项不正确; C:画出两个函数的图象如下图所示: 显然有一个交点,因此本选项正确; D:设, 当时,单调递减,当时,单调递增, 故,所以本选项正确, 故选:CD 10.ABD 不妨设正项等比数列的公比为,所以,; 对于A,若,则,由等比数列性质可得, 所以可得,即A正确; 对于B,若,可得,又,所以; 所以,又,可得,