8.4 统计案例（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

8.4 统计与统计案例（精讲） 一．简单随机抽样 1.定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本．如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．(除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样) 2.简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． 3.简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数法 二．分层随机抽样 1.分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2.分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，，总体的样本平均数为，则＝＋＝＋． 三．总体百分位数的估计 1.百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2.百分位数的意义：反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点． 四．总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数 众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数 五．总体离散程度的估计 总体(样本)方差和总体(样本)标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的 1.标准差s＝； 2.方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 六．相关关系 1．变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)散点图：每一个成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图．我们把这样的统计图叫做散点图． (3)相关关系的分类：正相关和负相关． (4)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关． 2．样本相关系数 (1)r＝. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，其中 七、独立性检验 1．分类变量与列联表 (1)分类变量：在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示． (2)2×2列联表 列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． 假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.独立性检验 (1)零假设：以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量． H0：分类变量X和Y独立．通常称H0为零假设或原假设． (2)χ2公式 假设我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d χ2＝. 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α. 我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (3)独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”