8.3 分布列（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

8.3分布列（精讲） 一.相互独立事件 1.事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互独立，当对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立； 2.独立事件的概率公式 ①若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）； ②若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）. 二.条件概率 1.概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率； 2.两个公式及三个性质 ①利用古典概型：P（B｜A）＝； ②利用概率的乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B｜A）； 三.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai），我们称上面的公式为全概率公式. 四.两点分布（或0－1分布） 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）称为成功概率. 五.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 六.伯努利试验与二项分布 1.伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验； 2.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）.对于服从二项分布的随机变量X，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 七.正态分布 若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝.当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布. （1）正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. （2）正态分布的三个常用数据 ①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7； ②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5； ③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 八.离散型随机变量的分布列 1.对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量； 2.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 3.均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 4.方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则（xi－E（X））2描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度.而D（X）＝（xi－E（X））2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度.称D（X）为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 一．超几何分布概率模型