8.2 二项式定理（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

8.2二项式定理（精讲） 一．二项式定理 1.二项式定理：（a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn（n∈N*） ①项数为n＋1 ②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n ③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2.通项公式：Tk＋1＝an－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋1项 ①h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项； ②h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项； ③h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项； ④h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项. 3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，…，. 二.二项式系数的性质 一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 ①写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝an－kbk，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； ③把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量． 二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式； ②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项 1.如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大； 2，如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大. 四.求展开式系数最大项 求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 5． 求三项展开式中特定项（系数）的方法 方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解 方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用 1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了． 2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度． 考点一 二项式定理的展开式 【例1】（2023广西柳州）化简（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　) A．128 B．129 C．47 D．0 2．（2023·重庆九龙坡） A． B． C． D． 考点二 二项式指定项的系数 【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（    ） A．28 B．56 C．70 D．112 【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模）的展开式的常数项是（    ） A．40 B．-40 C．20 D．-20 【例2-3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．270 B．240 C．210 D．180 【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【一隅三反】 1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A．5 B． C．10 D． 2．（2023·河南驻马店·统考二模）的展开式中的常数项是（    ） A．－112 B．－48 C．48 D．112 3．（2023·全国·高三对口高考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（    ） A． B．7 C． D． 考点三 三项式指定项系数 【例3】（2023·全国·高三专题练习）的展开式中常数项是（ ） A．-252 B．-220 C．220 D．252 【一隅三反】 1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B．10 C． D．30 2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是 .（答案用数字作答） 4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ． 考