8.1 计数原理及排列组合（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

8.1 计数原理及排列组合（精讲） 一.两个计数原理 1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； 2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 二.排列、组合 1.定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数、组合数的公式、性质 排列数 组合数 公式 ＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ ＝＝ 性质 ＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＋＝ 三．常用方法 1.特殊优先 2.相邻捆绑法 3.不相邻插空法 4.定序倍缩法 5.对于分堆与分配问题应注意三点 ①处理分配问题要注意先分堆再分配. ②被分配的元素是不同的. ③分堆时要注意是否均匀. 6.相同元素隔板法 一．计数原理的解题思路 2． 涂色问题常用的方法 方法一：按区域的不同，以区域为主的分步计数，用分步乘法计数原理 方法二：按颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析 3． 组合问题 1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； 2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 四．圆形排列问题 n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中 考法一 排列 【例1】（2023广东湛江）有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数． (1)选5人排成一排； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边； (4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边； (5)男生顺序已定，女生顺序不定； (6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置； (7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻； (8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻． 【一隅三反】 1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，3名男生互不相邻； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后二排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人． 2．（2023春·河南郑州）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数. (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排在乙的前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端. 3．（2023·广东佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． 考法二 组合 【例2】（2023秋·课时练习）高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 【一隅三反】 1．（2023春·江苏淮安）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无